97COU008 .......Corrigé : Etablissement du courant dans un circuit RL

 

2.

2.1. On peut constater sur la courbe i = f(t) que l’intensité du courant dans le circuit tend vers 0.5 A lorsque le temps tend vers l’infini.

0.5A est donc l’intensité demandée.

2.2. La loi des mailles s’écrit :

E - uL - ur - uR = 0

Une fois le régime permanent atteint, tout se passe comme si l’inductance représentée sur le schéma était remplacée par un conducteur et on a alors : uL = 0.

E - ur - uR = 0

soit E - r.I0 - R.I0 = 0

24 - 0,5.r - 0,5.R = 0

24 - 0,5.(r + R) = 0

24 - 0,5.(20 + R) = 0

20 + R = 24/0,5

20 + R = 48

R = 28 W

3.

3.1. La constante de temps d’un circuit RL est donnée par : t = L/R où L et R désignent respectivement l’inductance et la résistance totale du circuit.

Dans le cas présent la constante de temps est donc : t = L/(R+r).

3.2.  La valeur de i pour t = 3.t s’obtient en remplaçant t par (3.t ) dans l’équation :

i = I0.(1 - exp(- 3.t /(t ) = 0,5.(1 - exp(-3)) = 0.475 A

3.3. La valeur de i trouvée précédemment représente 95% environ de l’intensité du courant lorsque le régime permanent est atteint.

3.4. Pour trouver approximativement la constante de temps t du circuit, il suffit de trouver la valeur de t pour laquelle i = 0.475 A.

Cette valeur de t (voir le graphe) est :125 ms

La constante de temps est le tiers de cette valeur, soit : 41,6 ms.

3.5 Par définition la constante de temps t d’un circuit RL est : L/R

soit : 0,041 = L/48

L = 48 x 0,041 » 2 H

La loi des mailles s’écrit : E - uL - ur - uR = 0

Une fois le régime permanent atteint, tout se passe comme si l’inductance représentée sur le schéma était remplacée par un conducteur et on a alors : uL = 0

Il reste :

E - ur - uR = 0 soit :

24 - 20.i - 28.i = 0

24 - 48.i = 0

i = 24/48 = 0,5 A.

4.

 

avant fermeture

du circuit

à l’instant t = 0

ou on ferme le

circuit

lorsque le régime

permanent est atteint.

valeur de i (intensité du courant dans le

circuit

 

0

 

0

 

0.5 A

di/dt

0

» 12 A/s

0

tension UR aux bornes de la résistance R.

 

0

 

0

 

14 V

tension uB aux bornes de la bobine

0

24 V

10 V

5.

5.1. Le fait de changer le générateur de f.e.m. 24 V pour un générateur de 48 V n’influe pas sur la durée du régime transitoire : en d’autres termes le temps d’établissement du courant est le même qu’avec le générateur de 24 V.

En effet les durées d’établissement et d’extinction du courant dans un circuit RL ne dépendent que des valeurs de R et de L.

5.2. Avec le générateur de 48 V le courant, lorsque le régime permanent est atteint, a pour intensité : 1 A. L’ intensité du courant, une fois le régime permanent atteint est le double de la valeur qu’elle avait avec le générateur de 24 V.

6.

6.1. Constante de temps t du circuit est donc doublée ainsi que la durée d’établissement du courant.

6.2. La valeur de l’inductance reste inchangée alors que la résistance du circuit est divisée par 2 (elle devient égale à 24 ohms au lieu de 48 ohms). La constante de temps t = L/(R+r) est donc multipliée par 2 ainsi que la durée d’établissement du circuit.

7.