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symétrie par rapport à la première bissectrice

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symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar nico0 le Mer 13 Sep 2017 11:59

Bonjour SOS math

Soient M(-1;1) N (2;2) et P (5,5;5,5)

Tracer la droite pour laquelle les points ont l'ordonnée égale à l'abscisse

Soient A ( 3;2) et B (2;3)

Qu'observe t on ?

Soient C ( -1;4) et D ( 4;-1)

Que peut on conjecturer ?

L'objectif est démontrer que si deux points \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice alors leurs coordonnées sont
inversées

\(x_{B} = y_{A}\)
et

\(y_{B} = x_{A}\)
nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(31) le Mer 13 Sep 2017 13:15

Bonjour Nico,
ES-tu sur des coordonnées de M, n'as tu pas oublié un signe à l'ordonnée de M ?
L'abscisse de N est 2 sont ordonnées aussi donc N est un point de la droite a tracé. De même pour P. Il suffit donc de tracer la droite passant par ces deux points. Cette droite est la bissectrice des axes.
Ensuite places les points A et B sur le même graphique. Que remarques-tu ? Une "symétrie"?
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar Nico0 le Mer 13 Sep 2017 15:20

Bonjour et merci

Effectivement les coordonnées du point M sont (-1;-1)le point N a pour coordonnées ( 2;2) le point P a pour coordonnées ( 5,5;5,5)
J'ai tracé la droite passant par ces points

Puis j'ai placé le point À de coordonnées ( 2;3) et le point B de coordonnées (3;2)

On remarque les points À et B se font face
Nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar Nico0 le Mer 13 Sep 2017 15:35

En calculant le milieu de AB => je peux trouver le point de symétrie
Je démontre la symétrie par rapport à un point, et on me parle d'une symétrie par rapport à une droite
Il faut donc démontrer que le segment AB est perpendiculaire à la droite
Rien ne prouve que les droites sont perpendiculaires
Nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(33) le Mer 13 Sep 2017 15:53

Bonjour Nico0,
Il te faut peut être montrer que OAB est isocèle en O en calculant OA et OB et utiliser un résultat de géométrie vu au collège qui dit que la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base dans un triangle isocèle est la médiatrice de la base donc perpendiculaire.
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar nico0 le Ven 15 Sep 2017 17:33

Bonsoir SOS MAth




Je calcule la distance OA



\(OA =\sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}(y_{A}-y_{O})^{2}}\)


les coordonnées du point O sont \(x_{0}=0;y_{0}=0\)

les coordonnées du point A sont \(x_{A}=2;y_{A}=3\)

\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}=6\)

--------------------------------------
distance de OB

\(OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}(y_{B}-y_{B})^{2}}\)

le point B a pour coordonnées \(x_{B}= 3;y_{B}=2\)

\(OB=\sqrt{(3 -0)^{2}(0-2)^{2}}= \sqrt{3^{2}+2^{2}}=6\)

deux cotés sont égaux donc OAB est isocèle en 0

est ce suffisant pour démontrer que OAB est isocèle ?
nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 15 Sep 2017 19:15

Bonjour,

Effectivement si OA = OB, tu as bien montré que le triangle OAB est isocèle en O.

SoSMath
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar nico0 le Sam 16 Sep 2017 09:49

Ok

Le milieu de [AB] a pour coordonnées (2,5;2,5) il est donc sur la droite

la droite qui passe par le sommet du triangle et par le milieu de la base ( segment [AB] ) est la médiatrice de cette base donc perpendiculaire

---> donc je peux passer à la démonstration d'une symétrie axiale

Puisque l'on me demande de démontrer que si deux points \(A(x_{A};y_{B})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice des axes alors leurs coordonnées sont inversées

\(x_{B}=y_{A}\)

et

\(x_{A}=y_{B}\)
nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(25) le Sam 16 Sep 2017 10:01

Bonjour,

Il y a une petite erreur dans tes calculs mais la conclusion reste la même :

nico0 a écrit:
\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}=6\)



\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}\neq 6\)

Bon courage courage pour la suite
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar nico0 le Sam 16 Sep 2017 12:47

Ok

donc pour prouver que OAB est isocèle, je calcule la distance OA

\(OA = \sqrt{(x_{A}-x_{0})^{2}(y_{A}-y_{0})^{2}}\)

comme le point O a pour coordonnées \(x_{0};y_{0}=0\)

alors \(OA=\sqrt{(2 - 0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{13}\)

\(OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}(y_{B}-y_{O})^{2}}\)

\(OB =\sqrt{(3-0)^{2}(2-0)^{2}}=\sqrt{13}\)

-----------------------------

A et B sont symétriques par rapport à la droite
soit H le milieu de [AB] et comme H est sur la droite alors le point H a une abscisse égale à l'ordonnée

il faut démontrer que \(x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\)
nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(25) le Sam 16 Sep 2017 12:55

Pour cela, il faut utiliser la formule du milieu entre A et B.

A bientôt
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar nico0 le Sam 16 Sep 2017 13:09

merci de me répondre aussi vite !!


\(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\)

et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\)

comme \(x_{H}=y_{H}\)

est ce que je peux écrire \(\frac{2+3}{2}=\frac{2+3}{2}\)
nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(25) le Sam 16 Sep 2017 13:22

Je crois que tu dois démontrer que :

nico0 a écrit:
L'objectif est démontrer que si deux points \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice alors leurs coordonnées sont
inversées

\(x_{B} = y_{A}\)
et

\(y_{B} = x_{A}\)


Il te faut donc partir de \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) avec A et B symétriques par rapport à la bissectrice.

A bientôt
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar nico0 le Sam 16 Sep 2017 15:35

Il faut d'abord prouver que \(x_{A}+x_{B}=y_{B}+y_{B}\)

ensuite

il faut prouver que \(x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=y_{B}^{2}-y_{A}^{2}\)

en utilisant les deux relations obtenues, démontrer que \(x_{A}=y_{B}\)et \(x_{B}=y_{A}\)

-----------
pour prouver que \(x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\)

j'ai calculé le milieu H de [AB] \(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+2}{2}\)

comme \(x_{H}=y_{H}\) alors \(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)
nico0
 

Re: symétrie par rapport à la première bissectrice

Messagepar SoS-Math(25) le Sam 16 Sep 2017 15:52

C'est l'idée mais tu ne peux plus utiliser A(2;3) et B(3;2)...

Il te faut donc partir de \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) avec A et B symétriques par rapport à la bissectrice :

Si A et B sont symétriques par rapport à la première bissectrice alors le milieu de [AB] a pour coordonnées :

nico0 a écrit:
j'ai calculé le milieu H de [AB] \(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)

comme \(x_{H}=y_{H}\) alors \(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)


Pour la suite, il faut regarder les distances OA et OB...

A bientôt !
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