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Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscrit

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Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscrit

Messagepar Yohann le Mar 9 Oct 2018 18:26

Bonjour, je suis élève de seconde et on m'a donné aujourd'hui même un DM de maths à rendre pour mardi prochain.
J'ai fait les exercices, tout terminé, ... tout? ... Non, tout à l'exception d'une irréductible question : "En déduire la relation entre b et c que vous avez conjecturée en partie 1 !!

Voici l'exercice :

Partie 1 :

Téléchargez la figure ici.


Dernière question (Les réponses aux autres ont été réalisé dans le fichier) : Faites varier le curseur b et émettre une conjecture quant à la relation entre les longueurs OB et OC (on utilisera une phrase du genre : Il semble que...)

Partie 2 :
1) Exprimer AB en fonction de b : 1+b
2) Exprimer OB en fonction de b et OC en fonction c=de C : Ob=b OC=c
3) Dans le triangle AOC, exprimer AC² en fonction de c : 1²+c²
4) Dans le triangle BOC, exprimer OB² en fonction de b et c : OB²=(c²+b²)-c²
5) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier par une propriété. : Le segment [AB] qui appartient au triangle ABC est le diamètre de c, ainsi c est le cercle circonscrit de ABC, donc ABC est un triangle rectangle en C.
6) En déduire la relation entre b et c que vous avez conjecturée en partie 1 !! : Je ne comprends pas tout à fait ce qui est demandé. ???
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar sos-math(21) le Mar 9 Oct 2018 19:14

Bonjour,
Tu as montré que \(AC^2=1+c^2\), \(AB^2=(1+b)^2\) et \(BC^2=b^2+c^2\)
Tu sais par la propriété du triangle inscrit dans le cercle que ABC est rectangle en C, donc tu peux appliquer le théorème de Pythagore qui donne ...
cela te fera une relation très simple entre \(b\) et \(c^2\)...
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar Yohann le Mar 9 Oct 2018 19:40

Dans ABC rectangle en C :

BC²=AC²+AB²
b²+c²= 1+b² + 1+c²
b²+c²= b²+c²+2
Mais cette égalité est impossible, non?
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar sos-math(21) le Mar 9 Oct 2018 19:42

Bonsoir,
attention, \(AB=b+1\) donc \(AB^2=(b+1)^2\) : c'est une identité remarquable et ce n'est pas égal à \(1^2+b^2\) !
Reprends cela
sos-math(21)
 
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Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar Yohann le Mar 9 Oct 2018 19:59

Merci beaucoup, j'ai compris mon erreur, je pensais que comme AC²=1²+c², et bien AB serait égal à 1²+b² et non pas à (1+b)² Je m'étais figuré sans m'en rendre compte un deuxième triangle rectangle alors que 1 et b sont sur le même segment, contrairement à AC pour lequel il faut utilisé l'égalité de Pythagore avec le triangle AOC !

Donc : Dans ABC rectangle en C

BC² = AB² + AC²
BC² = (1+b)² + 1+c²
BC² = 1 +2b + b² + 1 + c²
BC² = b²+c²+2b+2

Mais BC² = b²+c² et donc pas plus?
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar Yohann le Mar 9 Oct 2018 20:16

Merci beaucoup, j'ai compris mon erreur ! Je m'étais figuré sans m'en rendre compte un autre triangle rectangle, car je pensais que comme AC²= 1+ c² AB² = 1+b², alors que la subtilité réside ici, dans AB 1 fait partie de AB alors que dans AC 1 est un côté du triangle rectangle AOC, côté qui au carré et additionné à c² donne AC².

Donc : Dans ABC rectangle en C
BC² = AC²+AB²
BC² = 1+c² + (1+b)²
BC² = 1+c² + 1 +2b +b²
BC² = c²+b²+2b+2

Mais BC² = c²+b² et non pas le résultat ci-dessus?
Où est mon erreur?
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar SoS-Math(7) le Mar 9 Oct 2018 20:23

Bonsoir Yohann,

Dans ABC rectangle en C, quelle est l’hypoténuse ?
Reprends alors l'égalité donnée par le théorème de Pythagore pour corriger ton erreur.

Bonne continuation.
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Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar Yohann le Mar 9 Oct 2018 20:32

Auriez-vous un remède contre l'étourderie?

Je pense que cette fois sera la bonne :

Dans ABC rectangle en C :

AB²=AC²+BC²
(1+b²) = 1+c² + c²+b²
1+2b+b²= 1+2c²+b²

Avec la calculatrice, je trouve un résultat égal à quelques centièmes près, est-ce juste?
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar SoS-Math(7) le Mar 9 Oct 2018 20:36

Pour l'étourderie, je cherche mais n'ai pas encore trouvé...

Ton égalité est juste mais tu peux encore la simplifier.

Bonne continuation.
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Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar Yohann le Mar 9 Oct 2018 21:22

Merci beaucoup pour votre aide, mais je n'ai pas trouvé comment simplifier.
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar SoS-Math(7) le Mar 9 Oct 2018 21:33

Bonsoir,

Dans une égalité, on peut enlever, ajouter la même quantité aux deux membres...

Bonne recherche.
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Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar Yohann le Mer 10 Oct 2018 18:34

Merci beaucoup pour votre aide !

J'y suis parvenu : 2b=2c²

Bonne continuation !
Yohann
 

Re: Démonstration relation entre a et b dans un cercle inscr

Messagepar SoS-Math(7) le Jeu 11 Oct 2018 20:41

Bonsoir Yohann

Je pense que tu peux encore aller plus loin...

A bientôt
SoS-Math(7)
 
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