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donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

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donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Jeu 17 Mai 2018 21:38

Bonsoir
Bonsoir sos (math)

c'est encore moi...
il est un peu tard peut être pour poser une question, j'espère pas trop vous embêté mais j'ai un devoir de math important à rendre et l'aide disponible sur votre forum est le seul moyen pour que je puisse y arriver.
Soit x un réel de l'intervalle [-0,5;3].

1- Donner un encadrement de x² puis de x² - 4x
2- a) Montrer que pour tout réel x , x² -4x = (x-2)² - 4.
b) En déduire un deuxième encadrement de x² - 4x.



comme j'ai un encadrement pour x² et que x² - 4x = x² + (-4x), il me suffit de trouver un encadrement de -4x et d'ajouter les deux.


Ajouter les deux variations me pose problème
Fichiers joints
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yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 18 Mai 2018 09:40

Bonjour Yann,

C'est bien la méthode. As-tu bien trouvé que \(0\leq x^{2}\leq 9\) ?
Écris l'encadrement pour -4x et ajoute membre à membre.

SoSMath
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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Ven 18 Mai 2018 11:31

Bonjour


x est un réel pris dans un intervalle [-0,5;3]


je le traduis en langage mathématique par :

-0,5 < x < 3

puis je remplace le x par x²

0,25 < x² < 9

-------------------------------------

pour l'encadrement de -4x

-0,5 < x < 3

-4 * (-0,5) < -4x < -4 * (3)

2 < -4x < -12

et là je change de sens parce que a = -4 donc la droite est décroissante

j'obtiens : 2 > -4x > -12
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 18 Mai 2018 13:17

-0,5 < x < 3
Ainsi 0 fait partie des valeurs que peut prendre x, donc 0² est une valeur possible pour x².
Or elle n'apparaît pas dans ton encadrement 0,25 < x² < 9. Il y a donc une erreur dans ton raisonnement.
Cette erreur vient du fait que la fonction carrée n'est pas croissante sur [-0,5 ; 3].
Deux méthodes :
- la première : algébriquement
tu sépares l'intervalle [-0,5 ; 3] en deux intervalles sur lesquels la fonction carrée est monotone : sur [-0,5 ; 0], elle y est décroissante et sur [0 ; 3], elle y est croissante.
pour x appartenant à [-0,5 ; 0], la fonction carrée étant décroissante, l'ordre des inégalités est changé quand on élève au carré : \(-0,5\leq x\leq 0\) donc \(0,25\geq x^{2}\geq 0\)
pour x appartenant à [0 ; 3], la fonction carrée étant croissante, l'ordre des inégalités est conservé quand on élève au carré : \(0\leq x\leq 3\) donc \(0\leq x^{2}\leq 9\).
En réunissant ces deux résultats, on trouve que \(0\leq x^{2}\leq 9\).

- la deuxième : graphiquement
sur le graphique de la fonction carrée, tu repasses en couleur l'intervalle [-0,5 ; 3] sur l'axe des abscisses, puis tu repasses en couleur la partie de la courbe correspondant à ces abscisses.
Enfin tu repasses en couleur, la partie de l'axe des ordonnées correspondant à la partie colorée de la courbe : cela correspond à l'intervalle des valeurs prises par \(x^{2}\).

Pour l'encadrement de -4x, c'est à la deuxième ligne qu'il faut changer le sens de l'inégalité, c'est-à-dire quand tu multiplies par -4.
En effet, la fonction (et non la droite) qui à x associe -4x est décroissante sur l'ensemble de tous les nombres réels, ce qui explique ce changement d'ordre.

SoSMath
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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Ven 18 Mai 2018 13:37

Bonjour sos math 30


la fonction décroissante ne conserve pas l'ordre et c'est ce qui explique : l'ordre des inégalités est changé quand on élève au carré

-0,5 < x < 0 : ce sont les antécédents et 0,25 > x² > 0 ce sont les images des valeurs de x par f = x²

c'est bien cela ?
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 18 Mai 2018 19:53

C'est bien cela. Tu sembles avoir compris.

SoSMath
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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Ven 18 Mai 2018 21:21

Bonsoir sos math

je reprends la deuxième inégalité, en partant de

-0,5 < x < 3

pour calculer -4x : je multiplie les deux membres par -4

(-0,5) * -4 > -4x > (3) * -4

2 > -4x > - 12


maintenant, je vais ajouter les deux inégalités

\(0\leq x²\leq 9\)

\(-12\leq -4x\leq 2\)
-------------------------
\(-12\leq x²-4x\leq 2+ 9\)

seulement, après avoir tapé x² - 4x dans la barre de saisie ( sur Géogébra) et bien c'est plutôt un encadrement comme 2 > x² - 4x > - 3
donc il faudrait avoir \(0\leq x²\leq 9\) et \(2\leq -4x\leq -12\) pour pouvoir les additionner et avoir un encadrement qui ressemble à ce que je peux observer avec Géogébra
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Ven 18 Mai 2018 21:22

j'ai apprécié votre aide, j'ai vu que vous avez passé beaucoup de temps pour me répondre et cela m'a aider à bien comprendre la variation de la fonction carré.
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 18 Mai 2018 21:33

Je te remercie pour ton appréciation ;)

Pour ta remarque concernant ce que tu devrais obtenir pour retrouver l'encadrement de geogebra, cela serait très embêtant d'avoir 2 < -12 !!!
Ton raisonnement pour obtenir l'encadrement entre -12 et 11 est correct et cela répond à la première question.
Si tu as lu la suite de l'énoncé, il t'est proposé une autre méthode pour obtenir un nouvel encadrement de la même expression. Essaie de le faire, peut-être obtiendras tu un encadrement plus "fin" ?

SoSMath
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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Ven 18 Mai 2018 22:09

Dois-je partir de la forme canonique\(\left(x - \alpha\right)²\) + \(\beta\) ?
L'idée est-elle d'utiliser l'expression f(x) = \(\left(x - 2\right)²\) - 4 ?
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Sam 19 Mai 2018 16:11

Bonjour

j'ai essayé cette méthode pour obtenir un nouvel encadrement, je propose ça :

Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur R par \(f(x) = ax² + bx + c\) peut s' écrire sous la forme \(f(x) = (x - \alpha)² + \beta\)

Soit \(f\) une fonction polynôme de degré 2 définie dans R par \(f(x) = ax² + bx + c\) alors pour tout \(x\) , \(f(x) = (x - \alpha)² + \beta\)
avec \(\alpha=\frac{-b}{2a}\)

f(x) n'est pas monotone sur R entier: f(x) est monotone sur R- puisqu'elle est décroissante et f(x) est monotone sur R+ avec pour condition a > 0 (parabole tournée vers le haut)

je prends deux réels \(x_{1}\) et \(x_{2}\) tel que \(x_{1} < x_{2}\)
Le but est de comparer \(f(x_{1})\) et \(f(x_{2})\)

mon idée est de partir de l'expression \(f(x) = (x-\alpha)^{2} + \beta\)




je caclule l'image de \(x_{2}\)et j'obtiens\(f(x_{2}) = (x_{2} - \alpha)² + \beta\) et pareil pour \(x_{1}\) là, je vais avoir \(f(x_{1}) = (x_{1} - \alpha)² + \beta\)

\(f(x_{2}) - f(x_{1})\)= \(\left(x_{2} - \alpha\right)² + \beta - \left[(x_{1} - \alpha)²) + \beta\right]\)

\(f(x_{2}) -f(x_{1})\) = \(\left(x_{2} - \alpha\right)²+\beta\) - \(\left(x_{1} - \alpha\right)² - \beta\)

\(f(x_{2}-f(x_{1})\) = \(\left(x_{2} -\alpha\right)²\) - \(\left(x_{1} - \alpha\right)²\)

-
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar SoS-Math(34) le Dim 20 Mai 2018 23:26

Bonsoir,

L'expression (x-2)²-4, dite forme canonique, permet de construire le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle [-0.5;3].
Il suffira alors de calculer les images pour en déduire le minimum et le maximum de la fonction sur cet intervalle.
Cela te donnera un encadrement plus fin (ou précis), que le précédent.

Bonne recherche
Sosmaths
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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Mer 6 Juin 2018 15:17

Bonjour

à la question 1 pour trouver un encadrement de x² - 4x, j'ai additionner l'encadrement d'une parabole \(y = x²\) et l'encadrement d'une droite \(y = -4x\)
ainsi, j'ai trouver \(-12\leqslant x²-4x\leqslant12\).

ce que je ne comprends pas, c'est que x² - 4x est l'équation d'une parabole et on arrive à trouver un encadrement pour \(-0.5\leqslant x\leqslant3\) en additionner une parabole et une droite.

Pouvez-vous m'expliquer ? s'il vous plait
yann
 

Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar SoS-Math(31) le Mer 6 Juin 2018 19:08

Bonsoir,
Oui, dans la question 2) b) l'idée est d'utiliser (x - 2)² - 4
Comme - 0,5 \(\leq x\leq 3\) Vérifie que - 2,5 \(\leq x-2\leq 1\).
Quel est alors l'encadrement de (x - 2)² puis de (x - 2)² - 4?
SoS-Math(31)
 
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Re: donner un encadrement de x² - 4x avec -0,5<x<3

Messagepar yann le Mer 13 Juin 2018 16:10

Bonjour,

Pour les variations de la fonction carré x²
Nous avons vu cette démonstration :

Soient a et b deux réels et f la fonction carré définie pour tout x par f(x) = x².

\(f(a) - f(b) = a² - b² = (a+b)(a-b)\).

Si \(a < b \leqslant 0\) :

\(a < b \leqslant 0\) <=> a+b < 0 et a<b <=> a-b < 0 . Donc \((a+b)(a-b) < 0\). Ainsi \(f(a) - f(b) > 0\).
Sachant que je suis parti de \(a < b\), je peux maintenant répondre à la question :
Quel que soit \(a \in ]-\infty.O]\) et quel que soit \(b \in ]-\infty.0]\), f est-elle croissante ou décroissante ?

Si \(0<a\leqslant b\) :

\(0 \leqslant a < b\) <=> a+b>0 et a<b <=> a-b <0 .Donc \((a+b)(a-b)<0\) ainsi \(f(a)-f(b)<0\).
Sachant que je suis parti de \(a < b\), je peux maintenant répondre à la question :

Quel que soit \(a \in [0;+\infty[\) et quel que soit \(b\in [0; +\infty[\), f est-elle croissante ou décroissante ?

-----------------------------------------------------------------------------------
conclusion : si \(a \leqslant b \leqslant 0\) alors \(a²>b²\).

- Deux nombres négatifs et leurs carré sont rangés dans l'ordre contraire.

si \(0 \leqslant a < b\)alors \(a²\leqslant b²\) .

- Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
-----------------------------------------------------------------------------------

pour la question 1) de l'exercice : ce sont bien ces 2 propriétés qui me permettent de donner un encadrement de x² pour [-0,5.0]
c'est ce que j'ai compris, est-ce que c'est bien ça ?


-
yann
 

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