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Optimisation d'une aire (Fonction polynôme de degré 2)

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Optimisation d'une aire (Fonction polynôme de degré 2)

Messagepar Yohann le Ven 22 Fév 2019 10:56

Bonjour,
je dois rendre la semaine prochaine un DM contenant l'exercice suivant :

Partie 1 : avec géogebra
Créer un carré ABCD de côté 4 et ses deux diagonales.
Créer un point M mobile sur le segment [AB] ;
N est l'intersection de la parallèle à (AC) passant par M avec le côté [BC],
Créer le polygone OENF d'aire "poly2"
Dans la fenêtre de saisie, créer le point P avec l'instruction " P =(x(M),poly2)". Activer sa trace.

1)...
2)...
3)...
4) Pour quelle position du point M l'aire du quadrilatère OENF semble-t-elle être maximale ?

Partie 2 :

1) Question préliminaire : Soit un triangle rectangle isocèle RST dont la longueur de l'hypoténuse ST = d. Exprimer l'aire A de ce triangle en fonction de d uniquement (on montrera que A = d*/4).

2) Dans la figure précédente, on note AM=CN=x. En utilisant le résultat de la question préliminaire, montrer que : A(CFN) = x*/4 et exprimer A(EBN) en fonction de x.

3) Soit f la fonction qui à tout x associe l'aire du quadrilatère OENF.

a)...
b) Montrer que f(x) = -1/2×x* +2x
c)...
d)...
e)...

J'ai réussi toutes les questions sauf la 1), la 2) et la 3)b).
Pour la question 1) je comprends bien que l'aire est égale à b*/4 mais je ne sais pas comment le démontrer, je pense que la réponse à la question 2) viendra d'elle-même quand j'aurai trouvé (avec votre aide si vous me le permettez).
Et pour ce qui est de la question 3) je ne comprends absolument pas comment trouvé la fonction f(x)

En vous remerciant d'avance pour votre aide,

Cordialement,
Yohann
 

Re: Optimisation d'une aire (Fonction polynôme de degré 2)

Messagepar sos-math(21) le Ven 22 Fév 2019 12:50

Bonjour,
tu as un triangle isocèle donc les deux côtés de l'angle droit sont égaux à un même nombre \(x\).
Le théorème de Pythagore donnera donc \(2x^2=d^2\).
L'aire du triangle sera donc \(\mathcal{A}=\dfrac{x\times x}{2}=\dfrac{x^2}{2}\) il te suffira alors de reprendre l'égalité précédente et la diviser pour obtenir l'expression de l'aire.
Pour la suite, je ne comprends pas comment sont créés les points E et F.
Peux-tu préciser cela ?
sos-math(21)
 
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Re: Optimisation d'une aire (Fonction polynôme de degré 2)

Messagepar Yohann le Sam 23 Fév 2019 12:36

Bonjour,

tout d'abord, je vous remercie pour votre aide.

Je peux maintenant vous envoyer une copie d'écran de la figure ce que je ne pouvais pas faire lors de mon premier message, veuillez m'en excusez.
Vous la trouverez ci-jointe.

Cordialement,
Fichiers joints
unknown.png
Yohann
 

Re: Optimisation d'une aire (Fonction polynôme de degré 2)

Messagepar SoS-Math(25) le Sam 23 Fév 2019 16:05

Bonjour Yohann,

As-tu démontré l'aire du l'aire RST ?

Appelle x la logueur RS (donc RT aussi) et calcule tout d'abord l'aire du triangle en fonction de x. Ensuite, Tu peux suivre les indication de mon collègue :

Tu as un triangle isocèle donc les deux côtés de l'angle droit sont égaux à un même nombre a.
Le théorème de Pythagore donnera donc \(2a^2=d^2\).
L'aire du triangle sera donc \(A=\dfrac{a\times a}{2}=\dfrac{a^2}{2}\) il te suffira alors de reprendre l'égalité précédente et la diviser pour obtenir l'expression de l'aire.

Pour la 3) b), il te faudra d'abord faire la question 2).

A bientôt
SoS-Math(25)
 
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