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cercle et racine

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cercle et racine

Messagepar benjamain le Dim 2 Oct 2011 16:11

bonjour,
voilà le problème qui me fait douter de mon choix de & ere s
le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j)
a et b sont deux donnés et R et S sont les points de coodonnées respectives (0;1) et (a;b)
Soit T un point de l'axe des abscisses.
démontrer l'éqivalence suivante:
Le point T appartient au cercle de diamètre RS si et seulement si l'abscisse de T est solution de l'équation x²-ax+b=0
j'avais pensé qu'à partir du triangle RST inscrit dans le cercle dont RS est le diamètre utiliser la propriété pour montrer que le triangle est rectangle en Tet continuer sur le thèorème de pythagore mais je ne vois pas comment le dévelloper pour arriver à l'équivalence?
Avez-vous une piste? Merci
benjamain
 

Re: cercle et racine

Messagepar sos-math(20) le Dim 2 Oct 2011 16:41

Bonjour,

Vous avez une idée de départ correcte et il faut la poursuivre :

"le point T appartient au cercle de diamètre [RS]" est équivalent à "le triangle RST est rectangle en T" qui est équivalent à "RT²+ST²=RS²".

Il vous reste à exprimer les trois distances RT, ST et RS en fonction des coordonnées qui vous sont données dans l'énoncé, et en remplaçant dans l'égalité de Pythagore vous obtiendrez le résultat souhaité.

Bon courage.

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Re: cercle et racine

Messagepar Arthur Maurer le Sam 24 Nov 2018 15:48

Bonjour, j'ai le même problème mais je n'arrive pas plus a obtenir quelque chose
Arthur Maurer
 

Re: cercle et racine

Messagepar sos-math(21) le Dim 25 Nov 2018 09:54

Bonjour,
le premier travail est de faire une figure, pas forcément exacte mais qui te permet de voir les choses.
Il te reste ensuite à traduire l'appartenance de T au cercle de diamètre par le fait que le triangle RST soit rectangle en T, ce qui donne par l'égalité de Pythagore :
\(T\in\mathscr{C}([RS])\Leftrightarrow RS^2=RT^2+ST^2\)
Ensuite dans un repère orthonormé les calculs de distances sont donnés par la formule \(RS^2=(x_R-x_S)^2+(y_R-y_S)^2\) ce qui donne par exemple pour cette longueur : \(RS^2=(a-0)^2+(b-1)^2=a^2+b^2-2b+1\)
Bon courage
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