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une suite auxiliaire

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une suite auxiliaire

Messagepar Mouhoulissou le Jeu 14 Jan 2016 19:12

Bonjour !

nous avons commencé en classe à faire un type d'exercice sur la notion du suite mais c'est à termine à la maison.
J'aimerai bien que vous m'aidez à la terminer !

Voici l'énoncé :

Soit la suite (Un) définie pour n ≥ 1 par U1 = 0 et pourtout n ≥ 1 U(n+1) = 1/(2 - Un)

1. Sur un tableur, faire afficher les 30 premiers termes de la suite (Un), puis les 30 premiers de 1 /(Un - 1)
voici l'image le tableur :
Capture.PNG

2. Émettre une conjecture sur une expression de 1 /(Un - 1) en fonction de n. Re = 1 /(Un – 1) = - n
En déduire une conjecture sur l' expression de Un en fonction de n et la tester sur le tableur. Re = Un = (n - 1) / n. ( c'est déjà fait dans le tableur)
3. Démonstration
On pose Vn = 1 /(Un - 1) pour tout ≥ 1
a. Exprimer V(n+1) en fonction de U(n+1) puis de Un.
b. En déduire V(n+1) - Vn. Que peut-on en déduire ?
c. Déterminer Vn en fonction de n puis en déduire Un.

J'aimerai que vous m'aidez pour la Démonstration ! Merci d'avance !
Mouhoulissou
 

Re: une suite auxiliaire

Messagepar SoS-Math(25) le Ven 15 Jan 2016 12:39

Bonjour,

Où en es-tu dans cette question 3 ? As-tu fait le a) ?

A bientôt !
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Re: une suite auxiliaire

Messagepar Mouhoulissou le Ven 15 Jan 2016 20:38

Bonsoir !

Non je ne l'ai pas encore fait puisque j'ai du mal à comprendre;

U(n+1) = 1 /(2 - Un) et V(n+1) = -(n+1) puisque Vn = 1/(Un - 1) = -n ou je me trompe ?
Mouhoulissou
 

Re: une suite auxiliaire

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 16 Jan 2016 11:12

Bonjour Mouhoulissou,

Attention, dans ce que tu as écrit, tu as utilisé ta conjecture .... et tu ne peux pas !

Tu as \(v_n=\frac{1}{u_n-1}\), donc \(v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}-1}\).

Utilise alors l'expression de \(u_{n+1}\) pour déterminer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\).

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Re: une suite auxiliaire

Messagepar Mouhoulissou le Mar 19 Jan 2016 19:26

Bonjour !

Nous avons corrigé la partie démonstration en cours mais il y a quelque chose que je n'ai pas compris, sur la consigne (petit a) :
a. Exprimer V(n+1) en fonction de U(n+1)

V(n+1) = 1/ U(n+1) -1 ( on sait que U(n+1) = 1/ (2-Un)
= 1/ [1/ (2-Un) -1]
= 1/ [1/ (2-Un) - 2-Un/2-Un]
= 1/ [1/ (-1+Un/ 2-Un) c'est justement là que je ne comprends pas, d'où vient le signe + là ??
= 1 * 2-Un / -1+Un
V(n+1) = 2-Un / -1+Un

voilà, pour les restes je pense avoir compris !
Mouhoulissou
 

Re: une suite auxiliaire

Messagepar SoS-Math(7) le Mar 19 Jan 2016 22:31

Bonsoir,

Je reprends ce que tu as fait, ton problème vient de l'"oubli" de parenthèses !

= 1/ [1/ (2-Un) - 1]
= 1/ [1/ (2-Un) - (2-Un/2-Un)] Ici cela revient à prendre l'opposé du numérateur
=1/[1/(2-Un)-(2-Un)/(2-Un)]
=1/[1-2+Un/(2_Un)]
= 1/ [1/ (-1+Un/ 2-Un)


Bonne continuation
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Re: une suite auxiliaire

Messagepar Mouhoulissou le Mer 20 Jan 2016 17:39

Bonsoir !

Merci beaucoup à vous, je pense avoir bien compris mon erreur !
Je vous en remercie pour tout votre aide !
Mouhoulissou
 

Re: une suite auxiliaire

Messagepar sos-math(20) le Mer 20 Jan 2016 19:20

A bientôt sur SOSmath !
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Re: une suite auxiliaire

Messagepar Pierre-Alex le Dim 1 Avr 2018 09:24

Bonjour
Voila je n'est pas compris comment exprimer V(n+1) en fonction de u(n+1) puis de u(n)
merci d'avance
Pierre-Alex
 

Re: une suite auxiliaire

Messagepar SoS-Math(9) le Dim 1 Avr 2018 09:31

Bonjour Pierre-Alex,

Tu as V(n) en fonction de U(n). Tu remplaces n par n+1 et tu obtiendra V(n+1) en fonction de U(n+1).
Ensuite tu connais U(n+1) en fonction de U(n), donc tu remplaces U(n+1) par son expression en fonction de U(n) dans celle de V(n+1).
Ainsi tu obtiendras V(n+1) en fonction de U(n).

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Re: une suite auxiliaire

Messagepar corentin le Mer 11 Avr 2018 16:12

bonjour, pouvez m'aider pour les questions b et c de la démonstration
svp
corentin
 

Re: une suite auxiliaire

Messagepar SoS-Math(9) le Mer 11 Avr 2018 17:36

Bonjour Corentin,

Question b, voici le début du calcul :
\(v_{n+1}-v_n = \frac{1}{u_{n+1}-1} - \frac{1}{u_n-1} = \frac{1}{\frac{1}{2-u_n}-1} - \frac{1}{u_n-1}=...\)
Tu dois trouver \(v_{n+1}-v_n = -1\)
Tu dois alors reconnaître une suite usuelle ...

Question c. Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\) (c'est une formule de ton cours).
Puis transforme \(v_n = \frac{1}{u_n-1}\) pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\).

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