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DM de maths TS

Mar 20 Fév 2018 19:13

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon DM de maths, je bloque à partir de la 3)a).
Le sujet est :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3-2 et C sa courbe représentative (O ; I ; J).
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [1;2]. Elle est appelée racine cubique de 2.

a) On construit une suite (xn) de la façon suivante : x0 = 2 et, pour tout n ≥0, xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe C en son point d'abscisse xn.
Emettre une conjecture sur la suite (xn).

a) Montrer que la tangente à la courbe C au point d'abscisse t, 1 ≤ t ≤ 2, coupe l'axe des abscisses en g(t) = t - f(t)/f'(t).
b) Justifier que g(α) = α.
c) Sur [α ; 2], donner le signe de f et de f’ et en déduire que g(t) ≤ t pour tout t ∈ [α ; 2].
Montrer que, sur [α ; 2], g(t) = 2/3t + 2/3t² et montrer que g’(t) = 2f(t)/3t3.
Montrer que pour α≤t≤2, on a α≤ g(t) ≤2.

a) Montrer que, pour tout n ≥ , α≤x_n≤2.
Montrer que la suite (xn) est décroissante.
Justifier que la suite (xn) est convergente et a pour limite α.

On traitera en module l’algorithme permettant de réaliser des approximations des solutions d’une équation numérique avec une précision choisie en utilisant la méthode de Newton.