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Congruence

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Congruence

Messagepar Thomas le Dim 3 Juin 2018 12:16

Bonjour,

Je fais un exercice sur les congruences et je bloque.
Tout d'abord je ne comprends pas ce qu'est alpha.
De plus, j'ai essayé de faire un delta, mais cela n'a pas aboutit.
Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance de votre réponse.
Fichiers joints
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Thomas
 

Re: Congruence

Messagepar SoS-Math(9) le Dim 3 Juin 2018 13:00

Bonjour Thomas,

Avec le discriminant, tu trouves \(\alpha=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\).

L'hypothèse \(\alpha\) est un rationnel, impose donc que \(\sqrt{a^2-4b}\) soit un entier, donc il existe c un entier tel que \(c^2=a^2-4b\)
Puis, pour montrer que \(\alpha\) est un entier il faut montrer que \(-a+\sqrt{a^2-4b}\) est divisible par 2.
Etudie le cas "a pair" et le cas "a impair".

SoSMath.
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Re: Congruence

Messagepar Touhami le Jeu 7 Juin 2018 11:10

Bonjour,
Soit al = m/n où m, n entiers n non nul.
Dire que al est solution de p(x)= 0 revient à écrire : (m/n)² + a *m/n + b = 0 .
En multipliant par n² , on obtient : m²+ a*m*n + b*n² = 0 ou encore: m² = -a*m*n -b*n²
Sous cette forme, on remarque que n divise le second membre donc n divise m² donc m: conclure.
Cordialement.
Touhami
 

Re: Congruence

Messagepar Thomas le Jeu 7 Juin 2018 18:09

Bonsoir,

Je pense avoir suivi vos conseils, mais je ne vois pas comment continuer ...
Voici ce que j'ai fait.
Fichiers joints
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Thomas
 

Re: Congruence

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 8 Juin 2018 08:59

Merci Touhami pour ta contribution pertinente. Il serait plus convivial que tu utilises ton prénom comme pseudo.

Thomas, tu peux reprendre la démonstration en suivant ce dernier raisonnement.

En supposant que alpha est rationnel cela signifie qu'il existe deux entiers \(m\) et \(n\) premiers entre eux (autrement dit \(\frac{m}{n}\) est une forme irréductible) tels que alpha = \(\frac{m}{n}\).
Comme alpha est racine du polynôme, P(alpha) = 0 et on obtient ainsi que \(m^{2}+amn+bn^{2}=0\).
On en déduit que \(m^{2}=-amn-bn^{2}\), ce qui montre que \(n\) divise \(m^{2}\).
A toi Thomas d'expliquer pourquoi \(n\) ne peut alors être égal qu'à 1.

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Re: Congruence

Messagepar Thomas le Ven 8 Juin 2018 18:45

Bonjour,

Ne serait ce pas n = 1, car sinon e m²=−amn−bn² n'est pas divisible par deux.
Merci d'avance de votre aide !
Thomas
 

Re: Congruence

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 9 Juin 2018 14:43

Bonjour Thomas,

Je ne comprends pas pourquoi n = 1 …

Tu as m/ n une fraction irréductible, donc soit n = 1 soit n ne divise pas m.

Or si m ne divise pas m alors n ne divise pas m² … donc n = 1 !

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Re: Congruence

Messagepar Thomas le Sam 9 Juin 2018 15:05

Bonjour,

Je ne comprends pas du tout ?
Pouvez vous réexpliquer l'exercice car je ne comprends pas son enjeu.
Thomas
 

Re: Congruence

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 9 Juin 2018 16:23

Thomas,

il faut démontrer que si \(\alpha\) est une racine de P (soit P(\(\alpha\)) = 0) et \(\alpha\) est rationnelle (soit \(\alpha=\frac{m}{n}\) avec n et m premiers entre eux)
alors \(\alpha\) est un entier (soit \(\alpha\) = m c'est-à-dire n = 1).

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Re: Congruence

Messagepar Touhami le Mar 12 Juin 2018 08:46

Bonjour,
Dans m² = -a*m*n -b*n² n divise le second membre donc n divise m² .
Comme m est entier, n divise m.
Donc alpha= m/n = ENTIER . CQFD
Cordialement
Touhami
 

Re: Congruence

Messagepar Visiteur le Mar 12 Juin 2018 10:23

"
Je ne comprends pas du tout ?
Pouvez vous réexpliquer l'exercice car je ne comprends pas son enjeu."

On a démontré précédemment que n divise m : donc alpha= m/n= ENTIER. CQFD
Visiteur
 

Re: Congruence

Messagepar sos-math(21) le Mar 12 Juin 2018 12:20

Bonjour,
dire que \(\alpha\) est un racine rationnelle du polynôme signifie que l'on peut écrire que \(\alpha=\dfrac{m}{n}\) où \(m\) et \(n\) sont deux entiers. Quitte à simplifier la fraction par le pgcd de ces deux entiers on peut upposer aussi que \(m\) et \(n\) sont premiers entre eux.
La propriété \(P(\alpha)=0\) se traduit par \(m^{2}=-amn-bn^{2}=n(-am-bn)\) donc \(n|m^2\) et comme \(n\) et \(m\) sont premiers entre eux, \(n|m\) (théorème de Gauss). Ainsi \(n\) est un diviseur de \(m\). Or \(m\) et \(n\) étant premiers entre eux, cela signifie que leur pgcd est égal à 1. Donc, ayant obtenu que \(n\) est un diviseur de \(m\), c'est donc un diviseur commun à \(m\) et \(n\) et comme le plus grand vaut 1, il est égal à 1.
Finalement \(n=1\) et \(\alpha=m\) est bien un entier.
Est-ce plus clair ?
sos-math(21)
 
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Re: Congruence

Messagepar Touhami le Mar 12 Juin 2018 14:24

Rebonjour,
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi n divise m ne suffit pas à justifier que alpha = m/n est ENTIER!!!!
Touhami
 

Re: Congruence

Messagepar sos-math(21) le Mar 12 Juin 2018 17:34

Bonjour,
c'est vrai qu'on obtient que \(n|m\) mais conclure directement que \(\alpha\) est entier est un peu rapide. Plus précisément, le fait que \(n|m\) est une contradiction avec le fait que \(m\) et \(n\) soient premiers entre eux sauf si \(n=1\). Donc quoiqu'il en soit, c'est bien à partir du moment où on a établi que \(n|m\) que l'on peut conclure au fait que \(\alpha\) est entier.
Vois-tu la subtilité ?
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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Re: Congruence

Messagepar Touhami le Ven 15 Juin 2018 12:45

Bonjour,
Nous sommes d'accord sur le raisonnement, mais notre ''divergence'' , s'il y a une, réside dans les conditions utilisées:
Pour ma part, j'utilise le rationnel alpha= m/n où m et n<>0 deux entiers QUELCONQUES ( par respect aux conditions du texte)
tel que P(alpha) = 0 .
Cela suffit pour montrer que alpha est entier:
En effet, la relation obtenue peut séécrire plus rigoureusement : m(m+an)=-bn²=-bnn.
Ce qui montre que n divise m meme si m et n ne sont pas premiers entre eux:
il suffit pour cela de poser m= kd et n= k'd où d= pgcd(m,n) avec k et k' dans Z.
On obtient alors: kd²(k +ak') = -bk'²d² ou, en simplifaint par d² : k(k+ak')=-bk'² .
Comme k et k' premiers entre eux, alors k'=1 (Th. Gauss) , donc d=n soit m=kn.

Enfin , je tiens à remercier toute l'équipe de SOSMath pour leurs efforts, leur disponibilté sans oublier leur patience. BRAVO.
Cordialement
Touhami
Touhami
 

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