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Suite exponentielle

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Suite exponentielle

Messagepar Laure le Mar 26 Déc 2017 15:14

Bonjour,
dans mon DM, je dois exprimer e(n+1) en fonction de e(n), mais je n'y arrive pas...
Nous avons :
e(n) = ∑1/k! = 1/0! + 1/1! + ... + 1/n!
mais je ne comprends pas comme faire avec la factorielle k
Cela me bloque pour le reste de l'exercice car je dois émettre une conjecture quant au sens de variation et à la convergence de la suite.
Merci d'avance, bonne journée.
Laure
 

Re: Suite exponentielle

Messagepar sos-math(21) le Mar 26 Déc 2017 15:33

Bonjour,
si on a défini la suite \(e(n)\) par : \(e(n)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}\)
Donc \(e(n+1)=\sum_{k=0}^{n+1}\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots++\dfrac{1}{n!}+\dfrac{1}{(n+1)!}=\underbrace{\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}}_{e(n)}+\dfrac{1}{(n+1)!}\)
Donc \(e(n+1)=e(n)+\dfrac{1}{(n+1)!}\) : cela devrait t'aider pour trouver le sens de variation de la suite \((e(n))\)
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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Re: Suite exponentielle

Messagepar Laure le Mar 26 Déc 2017 17:32

D'accord merci beaucoup !
Bonne soirée
Laure
 

Re: Suite exponentielle

Messagepar sos-math(21) le Mar 26 Déc 2017 19:09

Avec ce calcul, tu obtiens facilement que ta suite est croissante.
Dans ton exercice, tu dois sûrement avoir une question où on te demande de vérifier que ta suite est majorée par un réel.
Donc tu auras une suite croissante et majorée, elle sera donc convergente.
Sa limite est un nombre très connu...
Bon courage
sos-math(21)
 
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