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TS Spé - Chiffrement affine

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TS Spé - Chiffrement affine

Messagepar Pierre le Mar 9 Jan 2018 20:40

Bonjour,

Je suis de retour avec vous pour bosser sur un sujet type bac concernant le chiffrement affine.

Je vous propose à l'issu de l'énoncé mes réponses, n'hésitez pas à me dire s'il y a quelque chose qui ne va pas : il s'agit d'un travail noté.

Pour coder un message, on traduit d'abord chaque lettre en son équivalent numérique : le A=0, B=1,..., Z=25.

Soit \((E)\) l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et 25.

On définit le système de codage à l'aide de la transformation \(f\) suivante :

Si \(x \in E\) alors \(x\)\(\longrightarrow\)\(y\) où \(y\) est le reste de la division euclidienne de \(ax+b\) par 26, \(a\) et \(b\) entiers de \(E\) et \(a \neq 0\).


Exemple : Pour coder la lettre P avec \(a = 2\) et \(b = 3\), on procède de la manière suivante :

- étape 1 : on lui associe l'entier n = 15.
- étape 2 : le reste de la division de \(2 \times 15 + 3 = 33\) par 26 est 7.
- étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.

1) Que dire alors du code obtenu lorsque l'on prend \(a = 0\) ?

2) a) Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit \(a = 13\). En quoi est-ce un problème ?

b) Existe-t-il d'autres valeurs de \(a\) pour lesquelles on a le même problème ?

3) Dans toute la suite de l'exercice, on prend \(a = 5\) et \(b = 2\).
a) On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers \(n\) et \(p\).
Montrer, que si \(5n+2\) et \(5p+2\) ont le même reste dans la divison par 26, alors \(n-p\) est un multiple de 26.
En déduire que \(n = p\). Que peut-on en conclure ?

b) Coder le mot NOEL.

4) On se propose de décoder la lettre \(E\).
a) Montrer que décoder la lettre \(E\) revient à déterminer l'élément \(n\) de \(\Omega\) tel que \(5n-26y=2\), où \(y\) est un entier.

b) Déterminer un couple \((n ; y)\) solution de l'équation précédente avec \(0 \leq n \leq 25\).

c) Décoder alors la lettre E.

5) Décoder le mot VUSWYN.


Vous trouverez ci-dessous mes réponses, n'hésitez pas à me dire s'il y a quelque chose qui ne va pas : il s'agit d'un travail noté.

1) Si \(a=0\), alors pour tout \(n\), \(an+b=b\). Toutes les lettres de l'alphabet sont associées au même nombre donc elles seront codées par la même lettre correspondant au reste de la division de \(b\) par 26.

2) a) A et C sont respectivement associées à \(b\) et \(26+b\), ils ont le même reste modulo 26. En effet :

\(A = 0\) \(\longrightarrow\) \(13\times0+b=b\) \(\longrightarrow\) \(\frac{b}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=b\)
\(C = 2\) \(\longrightarrow\) \(13\times2+b=26+b\) \(\longrightarrow\) \(\frac{26+b}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=b\)

A et C sont codées par la même lettre si \(a=13\).

C'est un problème car on ne peut pas faire de distinction de codage entre les lettres A et C. Chaque lettre constituant le mot peut correspondre à plusieurs lettres.

b) Si on prend \(a=2\), \(2x+b\equiv r(mod.26)\) et que \(x=13\) on a \(26+b\equiv r(mod.26)\), comme \(26\equiv 0(mod.26)\) alors \(26+b\equiv b(mod.26)\) et donc \(r\equiv b(mod.26)\).
Si \(x=0\), on a \(2\times0+b\equiv r(mod.26)\) soit aussi \(r\equiv b(mod.26)\). Donc, si \(a=2\) on a aussi un problème.

3) a) On a :

\(5n+2\equiv 5p+2(mod.26)\)
\(5n\equiv 5p(mod.26)\)
\(n\equiv p(mod.26)\) car 5 est premier avec 26
\(n-p\equiv 0(mod.26)\)

Si \(5n+2\) et \(5p+2\) ont le même reste dans la division euclidienne par 26 alors \(n-p\) est un multiple de 26.

On a :

\(0 \leq n \leq 25\)
\(-25 \leq -p \leq 0\)

Donc \(-25 \leq n-p \leq 25\)

Or, le seul et unique multiple de 26 entre -25 et 25 est 0, donc \(n-p=0\) soit \(n=p\).

Si on prend \(a=5\) et \(b=2\), chaque lettre code une lettre distincte. De plus, si \(a \neq D(26)\) alors chaque lettre code une lettre distincte.

b) \(N = 13\) \(\longrightarrow\) \(5\times13+2=67\) \(\longrightarrow\) \(\frac{67}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=15\) \(\longrightarrow\) \(15=P\)

\(O = 14\) \(\longrightarrow\) \(5\times14+2=72\) \(\longrightarrow\) \(\frac{72}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=20\) \(\longrightarrow\) \(20=U\)

\(E = 4\) \(\longrightarrow\) \(5\times4+2=22\) \(\longrightarrow\) \(\frac{22}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=22\) \(\longrightarrow\) \(22=W\)

\(L = 11\) \(\longrightarrow\) \(5\times11+2=57\) \(\longrightarrow\) \(\frac{57}{26}\) \(\longrightarrow\) \(r=5\) \(\longrightarrow\) \(5=F\)

Le mot NOEL, codé avec \(a=5\) et \(b=2\) nous donne PUWF.

4) a) E correspond à 4.
Ainsi, la lettre codée E correspond à un nombre \(n\) tel que :

\(\Longleftrightarrow 5n+2\equiv 4(mod.26)\)
\(\Longleftrightarrow 5n-2\equiv 0(mod.26)\)
\(\Longleftrightarrow 5n-2 = 26y\) où y est un entier relatif
\(\Longleftrightarrow 5n-2=26y\)
\(\Longleftrightarrow 5n-26y=2\)

b) A l'aide de la calculatrice, le couple \((16;3)\) est solution de \(5n-26y=2\) où y est un entier relatif et \(0 \leq n \leq 25\).

c) D'après la question 4) b), la lettre dont le code est E est la lettre associée à 16 c'est-à-dire la lettre Q.

5) \(V=21 \longrightarrow 5n+2-26y=21 \longrightarrow (n;y)=(9;1) V\longrightarrow J\)
\(U=20 \longrightarrow 5n+2-26y=20 \longrightarrow (n;y)=(14;2) V\longrightarrow O\)
\(S=18 \longrightarrow 5n+2-26y=18 \longrightarrow (n;y)=(24;4) V\longrightarrow Y\)
\(W=22 \longrightarrow 5n+2-26y=22 \longrightarrow (n;y)=(4;0) V\longrightarrow E\)
\(Y=24 \longrightarrow 5n+2-26y=24 \longrightarrow (n;y)=(20;3) V\longrightarrow U\)
\(N=13 \longrightarrow 5n+2-26y=13 \longrightarrow (n;y)=(23;4) V\longrightarrow X\)

VUSWYN code pour le mot JOYEUX (quelle coïncidence).


Bonne soirée à vous et merci de m'avoir lu, ce travail est très important pour moi.

Pierre.
Pierre
 

Re: TS Spé - Chiffrement affine

Messagepar sos-math(21) le Mar 9 Jan 2018 20:52

Bonsoir,
j'ai lu tout ton travail (qui est une nouvelle fois très bien rédigé, avec une belle rigueur) et je ne vois pas d'erreur en première lecture.
Tout me semble correct, c'est du très bon travail.
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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Re: TS Spé - Chiffrement affine

Messagepar Pierre le Mar 9 Jan 2018 20:58

Bonsoir (21),

Merci beaucoup de m'avoir relu.

Concernant la question 1, dois-je préciser l'ensemble dans lequel \(n\) appartient ?
Pierre
 

Re: TS Spé - Chiffrement affine

Messagepar sos-math(21) le Mar 9 Jan 2018 21:18

Bonjour,
pour la question 1, tu as vérifié que pour tout entier \(n\), \(an+b=b\) donc cela reste vrai si on prend \(n\in E\). Donc c'est bon.
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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Re: TS Spé - Chiffrement affine

Messagepar Pierre le Mar 9 Jan 2018 21:19

Merci à vous et très bonne continuation :)

A bientôt je l'espère.
Pierre
 

Re: TS Spé - Chiffrement affine

Messagepar sos-math(21) le Mer 10 Jan 2018 07:46

Bonne continuation à toi aussi
À bientôt sur sos-math
sos-math(21)
 
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