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équation avec ln

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équation avec ln

Messagepar steve le Sam 10 Fév 2018 20:28

Bonjour,
Je suis bel et bien bloqué à la question 2 de mon dm
1ère question : étudier les variations de f (x) = (2 + ln(x))/x, Df=]0;+infini[

Fait sans problème : f'(x) = - (1 + lnx) / (x^2)
étude de signe de f'(x) s'annule en e^-1
f(x) croissante sur [0; e^-1] et décroissante sur [e^-1; +infini[
Maxima en f(e^-1)= e
lim en 0+ = -infini
lim en +infini = 0

2ème question :
Déterminer selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation mx-ln(x) = 2
Ma piste de recherche :
mx - lnx = 2 <=> (2 + lnx)/x = f(x) = m
Après je patine dans la semoule

PS : l'aide donnée dit "utiliser la fonction f et le corollaire du T.V.I)
Si quelqu'un avait l'amabilité de m'aider ;) Merci
steve
 

Re: équation avec ln

Messagepar SoS-Math(34) le Sam 10 Fév 2018 22:53

Bonsoir Steve,

Effectivement, il s'agit de résoudre l'équation f(x) = m.
Le tableau de variation de f permet de constater par exemple que l'équation f(x) = 5 n'a pas de solution(le maximum de f sur ]0;+inf[ est e < 5). De manière générale :
* que peux-tu dire de l'équation f(x) = m lorsque m est strictement supérieur à e?
* distingue ensuite les cas : 0 < m =< e et m =< 0 et appuie ton raisonnement sur l'observation du tableau de variation.

une vidéo pour comprendre le théorème des valeurs intermédiaires (son corollaire en fait) :
https://www.youtube.com/watch?v=uLcIFMNbyZ0
Tu as dû étudier ce théorème en classe, reprends la rédaction qui t'a été donnée et adapte-la à cet exercice.

Bonne recherche
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