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Arithmétique

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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 15:59

\(\forall n \in \mathbb{N}\),

\(x_{n+1}=2x_n+3y_n\)
\(y_{n+1}=x_n+2y_n\)
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar SoS-Math(33) le Sam 21 Avr 2018 16:01

Oui c'est ça
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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 16:09

3) Montrer que \(x_n^2-3y_n^2=1\) et que \(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1\).


Démonstration par récurrence ? Grâce aux deux questions précédentes ?

Avec quelle méthode gagne-t-on au change ?
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar SoS-Math(33) le Sam 21 Avr 2018 16:15

Pour cette égalité \(x_n^2-3y_n^2=1\) je te conseille de calculer \(a^n\times b^n\) le résultat est rapide.
Ensuite tu devras utiliser le résultat pour démontrer la seconde égalité \(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1\)
Je te laisse faire les calculs.
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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 16:17

J'ai pensé à calculer \(x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2\) et espère tomber sur \(x_{n}^2-3y_{n}^2\) ce qui prouverait la suite (\(x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2\)) est constante et que tous ses termes valent \(x_0²-3y_0²\).
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar SoS-Math(33) le Sam 21 Avr 2018 16:21

Par rapport à la question le plus simple c'est ce qui est expliqué juste avant.
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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 16:24

Identité remarquable (la "troisième)

Je tombe sur \(x_n²-3y_n²\) mais comment prouver égal à un ?
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar SoS-Math(33) le Sam 21 Avr 2018 16:28

Oui ce qui est égal à \(a^n\times b^n\) = \((a\times b)^n\) tu remplaces ensuite a et b par leur valeur.
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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 16:45

J'ai compris où vous voulez en venir.

Par curiosité, qu'en pensez-vous ?

3) Montrer que \(x_n^2-3y_n^2=1\) et que \(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1\).


\(x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = (2x_n+3y_n)^2-3(x_n+2y_n)^2\)
\(x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = 4x_n^2+12x_ny_n+9y_n^2-(3x_n^2+12x_ny_n+12y_n^2)\)
\(x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = 4x_n^2+12x_ny_n+9y_n^2-3x_n^2-12x_ny_n-12y_n^2\)
\(x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = x_n^2-3y_n^2\)

La suite \((x_n^2-3y_n^2)_{n\in\mathbb{N}}\) est constante ce qui signifie que l'ensemble de ses termes est égal à \(x_0^2-3y_0^2\) où :

\(y_0=0\)
\(x_0=1\).

Ainsi, \(x_n^2-3y_n^2 = x_0^2-3y_0^2 = 1^2-3\times0^2 = 1\)

\(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n(x_n+2y_n)-y_n(2x_n+3y_n)\)
\(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n^2+2y_nx_n-2y_nx_n-3y_n^2\)
\(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n^2-3y_n^2\)
\(x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1\)
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 17:02

Avec votre technique,

Repérons que \(ab=1\).

\(a^nb^n=(ab)^n=((2+V3)(2-V3))^n=1^n=1\)
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 21 Avr 2018 17:14

C'est très bien Maxime.

SoSMath.
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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 17:17

Bonsoir (9) :)

En déduire que les fractions suivantes sont irréductibles :

1) \(\frac{x_n}{y_n}\)

2) \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\)

3) \(\frac{y_{n+1}}{y_n}\)


Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD(numérateur, dénominateur)=1.

\(\longrightarrow\) Grâce à la question 3) il est trivial d'affirmer que :

\(PGCD(x_n, y_n)=1\)
\(PGCD(x_{n+1}, x_n)=1\)
\(PGCD(y_{n+1}, y_n)=1\)

D'après le théorème de Bachet-Bézout...

Ma réponse est suffisante ou je dois développer en disant que \(PGCD(a²,b²)=PGCD(a,b)\) ?
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 21 Avr 2018 18:54

Maxime,

c'est toujours mieux de justifier !

SoSMath.
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Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 19:06

5) On note \(P=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1
\end{pmatrix}\), montrer que \(D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a
\end{pmatrix}\).


\(D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{6} & -\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 2
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1
\end{pmatrix}\)
\(D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\frac{-3+2\sqrt{3}}{6} & \frac{-2+\sqrt{3}}{2}\\\frac{3+2\sqrt{3}}{6} & \frac{2+\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1
\end{pmatrix}\)
\(D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2-\sqrt{3} & 0\\0 & 2+\sqrt{3} \end{pmatrix}\)
\(D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a
\end{pmatrix}\)
Maxime
 

Re: Arithmétique

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 20:26

Exercice clos, merci à vous d'avoir vérifié mes réponses.

Je vous souhaite une bonne continuation :)

A bientôt.

Maxime
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