Arrêt du service de modération des messages du forum SOS-MATH comme tous les dimanches de 14h à minuit.
Bien entendu, la consultation du forum reste toujours possible.

Matrices

Retrouver tous les sujets résolus.

Matrices

Messagepar Maxime le Sam 21 Avr 2018 21:19

Bonjour,

Voici un petit exercice de révision portant sur les matrices.

Un réseau comprend trois pages A, B et C.
Les liens sont indiquées dans le graphe.
Un employé navigue de façon aléatoire.
A chaque clic il choisit de façon équiprobable un des liens.
Apres \(n\) clics, on note \(X_n\) la variable aléatoire donnant la page sur laquelle se trouve l’employé et \(P_n\) la matrice ligne \((p(X_n=A) p(X_n=B) p(X_n=C))\).


Ecrire la matrice \(M\) telle que \(P_{n+1}=P_nM\), en déduire une relation entre \(P_n\), \(M\) et \(P_0\).

Pouvez-vous m'aider à répondre à cette première question s'il vous plaît ?

Paradoxalement je ne parviens pas à établir l'arbre... alors que j'y arrive d'habitude.
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar sos-math(21) le Dim 22 Avr 2018 10:22

Bonjour,
il va être difficile de t'aider sans le graphe de la situation.
Avec le graphe probabiliste fourni, tu peux déjà construire la matrice de transition \(M\) :
Fichier_001 (24).png

Une fois que tu as la matrice de transition, tu en déduis la relation générale issue du cours : comme \(P_{n+1}=P_n\times M\) tu obtiendras alors que pour tout entier naturel \(n\) \(P_n=P_0\times M^n\).
C'est tout ce que je peux dire pour l'instant
sos-math(21)
 
Messages: 7268
Inscription: Lun 30 Aoû 2010 11:15

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Dim 22 Avr 2018 23:35

Capture.PNG
Capture.PNG (9.05 Kio) Vu 342 fois


Bonjour,

Vous trouverez ci-joint le graphe schématisant la situation.

J'ai pas mal avancé sur l'exercice, les questions 1 à 3 sont terminées. Je fini la 4).

1) Ecrire la matrice \(M\) telle que \(P_{n+1}=P_nM\), en déduire une relation entre \(P_n\), \(M\) et \(P_0\).

2) a) Soit \(Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\
1&1&-4\\
1&-2&4\\
\end{pmatrix}\).

Calculer \(H=Q^{-1}MQ\) et montrer que \(H=D+T\) où \(D=\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&-0,5&0\\
0&0&-0,5\\
\end{pmatrix}\) et \(T=\begin{pmatrix}0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}\).

2) b) Montrer que pour tout \(n \geq 1\) on a \(D^nT=(-0,5)^nT.\)

3) Montrer que pour tout \(n \ge 1\) on a \(H^n=D^n+n(-0,5)^{n-1}T\).

4) Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).

\(P_n=P_0 \times M^n\)
\(P_n=P_0 \times (QH^nQ^{-1})\)
\(P_n=P_0 \times (Q(D+T)^nQ^{-1})\)
\(P_n=P_0 \times (Q.(D^n+n(-0.5)^{n-1}\,T).Q^{-1})\)

Je développe pour avoir \(P_n\) en fonction de \(n\) c'est bien ça ?
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Lun 23 Avr 2018 15:59

Je trouve :

\(M^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n-7}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n-4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n+2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n+5}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}+\dfrac{6n-2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}-\dfrac{6n+4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\,(-0.5)^n\\\end{pmatrix}\)

De plus,

La suite \((P_n)\) ne dépend pas de l'état initial \(P_0\).

\(\lim_{n\to +\infty} M^n =\) \(M_{\infty}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\)

\(\lim_{n\to +\infty} P_n=\)\(P_0M_{\infty}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\)

« quelle page web sera atteinte avec la plus grande probabilité après un grand nombre de clics ? »

C'est la B avec une probabilité de 4/9 !
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Lun 23 Avr 2018 21:44

Y a-t-il quelqu'un ?
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar sos-math(21) le Mer 25 Avr 2018 06:45

Bonjour,
cet exercice me semble difficile pour des terminale ES....
Sur ta figure, je n'ai aucun coefficient ce qui ne me permet pas de vérifier les coefficients de ta matrice et tes calculs qui en découlent...
En ce qui concerne la démarche pour les questions suivante, cela me paraît correct.
Peux tu donner l'énoncé exact ? Cela me facilitera le travail d'accompagnement,
À bientôt
sos-math(21)
 
Messages: 7268
Inscription: Lun 30 Aoû 2010 11:15

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Mer 25 Avr 2018 16:58

Tout a été donné ci-dessus !
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar SoS-Math(31) le Mer 25 Avr 2018 19:24

Bonsoir Maxime, la première ligne de ta matrice M^n semble juste. Par contre, La convergence de Pn vers l'état stable S est indépendant de P0 mais S dépend de P0.
!
SoS-Math(31)
 
Messages: 1099
Inscription: Lun 12 Oct 2015 10:33

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Mer 25 Avr 2018 19:33

Oui, ça j'ai compris.

Du coup, mon raisonnement est correct ?
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar SoS-Math(31) le Mer 25 Avr 2018 19:38

OUi, Ton raisonnement est bon.
SoS-Math(31)
 
Messages: 1099
Inscription: Lun 12 Oct 2015 10:33

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Mer 25 Avr 2018 19:43

Juste une dernière question

Afin de justifier correctement que « justifier qu'elle ne dépend pas de l'état initial », ce que j'ai écrit suffit ? Que faut-il rajouter/compléter éventuellement ?
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar SoS-Math(7) le Mer 25 Avr 2018 20:41

Bonsoir Maxime,

Il faut être rigoureux mais ce que tu as écrit est suffisant. \(P_n\) dépend de \(P_0\) mais la limite est indépendante de l'état initial.

Bonne continuation.
SoS-Math(7)
 
Messages: 3936
Inscription: Mer 5 Sep 2007 12:04

Re: Matrices

Messagepar sos-math(21) le Jeu 26 Avr 2018 06:31

Bonjour,
je suis désolé mais "tout n'a pas été donné ci-dessus" : ton graphe ne contient aucun coefficient et je ne vois pas la matrice M sauf lorsqu'elle est à la puissance \(n\).
Je ne vois donc pas comment vérifier ton travail ou alors quelque chose m'échappe.
Enfin si tu as réussi, c'est l'essentiel.
Bonne continuation
sos-math(21)
 
Messages: 7268
Inscription: Lun 30 Aoû 2010 11:15

Re: Matrices

Messagepar Maxime le Jeu 26 Avr 2018 08:28

Bonjour,

Vous avez raison, il s'agit de la réponse à la question n°1.

\(M=\begin{pmatrix}0&0,5&0,5\\
0,5&0&0,5\\
0&1&0\\
\end{pmatrix}\)

Bonne journée.

Maxime.
Maxime
 

Re: Matrices

Messagepar SoS-Math(7) le Jeu 26 Avr 2018 21:03

A bientôt sur SoS math
SoS-Math(7)
 
Messages: 3936
Inscription: Mer 5 Sep 2007 12:04

Suivante

Retourner vers Forum terminale