Arrêt du service de modération des messages du forum SOS-MATH pendant les vacances scolaires d'été du 12 juillet au 26 août 2018 inclus.
Bien entendu, la consultation du forum reste toujours possible.

Intervalle de fluctuation

Retrouver tous les sujets résolus.

Intervalle de fluctuation

Messagepar NICOLAS le Lun 28 Mai 2018 11:26

Bonjour,

J’ai un énorme problème de compréhension de la notion du risque d’erreur lors d’une prise de décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation.
Dans notre manuel ( « Odyssée TS », page 433 ) on lit à ce propos :

► a) dans le cas où on accepte l’hypothèse faite sur la proportion p, le risque d’erreur n’est pas quantifié ;
► b) le risque de 5% signifie que la probabilité que l’on rejette à tort l’hypothèse faite sur la proportion p alors qu’elle est vraie est APPROXIMATIVEMENT égale à 0,05. C’est une probabilité conditionnelle.

Donc, si je comprends bien, ce risque de 5% d’erreur dans le cas de rejet d’une hypothèse valide, n’est pas une conséquence directe du fait que la fréquence observée dans un échantillon tombe en dehors de la « zone d’acceptation » du modèle théorique engendré ( dans 95% des cas ) par l’intervalle de bornes p±1,96σ, car il s’agirait d’une probabilité conditionnelle...

QUESTION

1) Comment alors procède-t-on pour calculer cette probabilité conditionnelle et retrouver le résultat approximatif 0,05 ? [cas b) ]
2) Pourquoi n’est-il pas possible ( ce qui logiquement est incohérent )– toujours dans l’esprit de probabilités conditionnelles – et en utilisant une méthode similaire – d’évaluer le risque d’erreur d’accepter une hypothèse alors qu’elle st fausse ? [ cas a) ]

Merci de vos éclaircissements.
Nicolas
NICOLAS
 

Re: Intervalle de fluctuation

Messagepar sos-math(27) le Mar 29 Mai 2018 09:34

Bonjour Nicolas,
Les risques d'erreurs, c'est un point délicat effectivement...
Il faut dire que dans le cas des tests d'hypothèses, il existe plusieurs types d'erreurs :
test.png

Le risque \(\alpha\) de rejeter l'hypothèse faite sur la proportion p (\(H_0\)) est choisi (déterminé) au départ et aura pour conséquence une amplitude plus ou moins grande de l'intervalle de fluctuation asymptotique calculé. Il n'est pas lié du tout à la fréquence observée ultérieurement et est bien une probabilité conditionnelle puisque on fait "comme si" la proportion de la population était p.

Le second risque évoqué s'appelle \(\beta\) et correspond à accepter l'hypothèse sur la population à tort, c'est aussi une probabilité conditionnelle. Plus le premier risque est faible, plus ce second risque va augmenter...
Cette notion n'est pas encore au programme de terminale. Le calcul n'est donc pas à faire pour le moment.
Je te donne le lien vers la page Wikipédia si tu veux en savoir plus
https://fr.wikipedia.org/wiki/Test_statistique
Et vers un très bon site de révision pour t'aider sur cette notion :
http://www.jaicompris.com/lycee/math/probabilite/intervalle-fluctuation.php

J'espère que tu auras mieux compris, à bientôt
sos-math(27)
 
Messages: 1277
Inscription: Ven 20 Juin 2014 15:58

Re: Intervalle de fluctuation

Messagepar Visiteur le Mar 29 Mai 2018 11:21

Bonjour une fois encore,

Enfin j’ai compris le risque α . Merci pour votre explication bien claire !
Quant au risque β, qui ne figure pas au programme ( par ailleurs, c’est bien dommage que le manuel suggère qu’il ne soit pas calculable, cela m’a complètement dérouté...), j’ai imaginé une intérprètation suivante ; je vous prie de me dire, si cela est correct :

Soit H l’hypothèse à vérifier.On suppose que cette hypothèse est de type « OUI /NON » ( par exemple « pièce monnaie équilibrée/non équilibrée ») On notera ךH l’hypothèse contraire de type « NON/OUI ».Ayant construit l’intervalle de fluctuation autour de p, on prélève un échantillon et on obtient une fréquence observée f. Imaginons que f tombe dans la « zone d’acceptation » mais f est infiniment proche de p+1,96σ ainsi on est obligé d’accepter H à contre-coeur, on se pose donc des questions sur la validité d’une telle démarche... On veut donc évaluer la probabilité d’accepter H sachant qu’elle est fausse. On a alors :

P( accepter H | H est fausse ) = P( accepter H | ךH est vraie ) =
= P( accepter H ∩ ךH est vraie ) / P(ךH est vraie ) = 100/95 * P( accepter H ∩ ךH est vraie ).

Mais si ךH est vraie , alors il est possible de construire une distribution normale autour de la fréquence observée f. Le calcul de P( accepter H ∩ ךH est vraie ) consiste à déterminer l’intersection de zones d’acceptation engendrées par les deux courbes puis de calculer son aire...

Merci de votre réponse.
Nicolas.
Visiteur
 
Messages: 261
Inscription: Mar 3 Jan 2012 09:12

Re: Intervalle de fluctuation

Messagepar sos-math(27) le Mar 29 Mai 2018 20:28

Merci Nicolas,
Malheureusement, je pense que tu fais erreur en pensant qu'on 'vérifie' une hypothèse
Soit H l’hypothèse à vérifier.On suppose que cette hypothèse est de type « OUI /NON » ( par exemple « pièce monnaie équilibrée/non équilibrée »)

En fait, on suppose cette hypothèse H vraie, (et on énonce l'alternative ךH)
on détermine alors le fameux intervalle (sous l'hypothèse H)
on teste si une mesure observée est ou pas dans l'intervalle, et on accepte H (ou ךH)
Ce qui est important : on fait ce test avec une certaine probabilité de se tromper.

De plus, le test Vrai/Faux n'est pas vraiment adéquat ici, puisque en déterminant l'intervalle de fluctuation asymptotique, on teste si une valeur mesurée d'un échantillon est oui ou non dans l'intervalle.

Enfin dans ton calcul de probabilité conditionnelle, P(ךH est vraie ) n'est pas égale à 95/100 ...

Les tests statistiques sont vraiment une partie délicate en mathématiques, selon la suite de vos études, vous aurez peut être à les étudier plus précisément, et dans ce cas, le professeur vous expliquera les tenants et les aboutissants de la construction de ces tests délicats !!
à très bientôt
sos-math(27)
 
Messages: 1277
Inscription: Ven 20 Juin 2014 15:58


Retourner vers Forum terminale