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suite de fibonacci

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suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Sam 2 Juin 2018 17:28

Bonsoir,

Je fais un exercice sur les suites de Fibonacci et je bloque à la récurrence de la question 2.
Voici ce que j'ai commencé.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
Fichiers joints
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Re: suite de fibonacci

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 2 Juin 2018 17:47

Bonsoir Thomas,

Pour l'hérédité de ta récurrence, ton hypothèse est : \(u_{n+1}u_{n-1} - u_{n}^2=(-1)^n\).
Donc il faut montrer que \(u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=(-1)^{n+1}\).

Commence alors par calculer \(u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=...\).
Il faudra utiliser le fait que \(u_{n+2}=u_{n+1} + u_{n}\) et \(u_{n+1}=u_{n} + u_{n-1}\).


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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Dim 3 Juin 2018 00:02

Bonjour,

J'ai remplacé les expressions mais je ne vois pas comment continuer.
Voici ce que j'ai fait.
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Re: suite de fibonacci

Messagepar sos-math(21) le Dim 3 Juin 2018 10:03

Bonsoir,
on utilise la relation de récurrence de la suite \(u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\) puis développer et voir ce qui peut s'arranger :
\(u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=(u_{n+1}+u_n)u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_n^2-u_{n+1}^2\)
Or par hypothèse de récurrence, on a \(u_{n+1}u_{n-1}-u_n^2=(-1)^n\) donc \(u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}-(-1)^n\) ce que l'on peut écrire \(u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}\) donc en remplaçant dans l'expression de départ :
\(u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2\)
Il reste à factoriser par \(u_{n+1}\) (les deux premiers termes) et refaire fonctionner la relation de récurrence de la suite : on aura deux termes qui vont s'annuler et il ne restera que \((-1)^{n+1}\) ce qui prouvera l'égalité au rang \(n+1\).
Bon courage
sos-math(21)
 
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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Dim 3 Juin 2018 11:55

Bonjour,

Je comprends votre démarche, mais je ne vois pas comment factoriser.
Voici ce que j'ai fait.
Merci d'avance de votre aide.
Fichiers joints
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Thomas
 

Re: suite de fibonacci

Messagepar SoS-Math(9) le Dim 3 Juin 2018 12:45

Thomas,

voici la factorisation : \(u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2 = u_{n+1}(u_n+u_{n-1}-u_{n+1})+(-1)^{n+1}\).

Or \(u_{n+1} =u_n+u_{n-1}\) ….
Je te laisse terminer.

SoSMath.
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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Jeu 7 Juin 2018 17:50

Bonjour,

J'ai essayé de factoriser, mais je ne suis pas sûr que ce soit correct ...
Pouvez-vous me corriger ?

Merci d'avance.
Fichiers joints
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Thomas
 

Re: suite de fibonacci

Messagepar SoS-Math(30) le Ven 8 Juin 2018 09:26

Tout a été détaillé dans les messages de mes collègues.
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Thomas1.png (13.62 Kio) Vu 380 fois

Quand tu passes de la première ligne à la deuxième, tu soustrais \((-1)^{p}\). Donc dans la deuxième ligne il devrait y avoir \(-(-1)^{p}\) ce qui est égal à \(+(-1)^{p+1}\).
Ceci rectifie l'incohérence entre les 1ère et 2ème lignes de ce qui suit.
Thomas2.png
Thomas2.png (39.83 Kio) Vu 380 fois

Quand tu passes de la 2ème à la 3ème ligne, la relation de récurrence n'est pas à utiliser dans le premier facteur (il faudrait d'ailleurs des parenthèses autour de \(u_{p}+u_{p-1}\) pour que ce soit correct dans la 3ème ligne) mais dans la parenthèse où il me semble (on ne voit pas très bien ta feuille même en zoomant) qu'en passant de la 2ème à la 3ème ligne, un indice p-1 s'est transformé en p+1...). C'est la parenthèse qui va alors s'annuler.

Essaie de reprendre cela. Tous les éléments de réponse t'ont été donnés.

SoSMath
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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Ven 8 Juin 2018 19:14

Bonsoir,

J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'arrive toujours pas à finir ma récurrence.
Voici ce que j'ai fait.
Fichiers joints
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Re: suite de fibonacci

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 9 Juin 2018 14:48

Bonjour Thomas,

Il faut calculer \(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2\) et montrer que tu trouves \((-+1)^{p+1}\)

Pourquoi calcules-tu \(u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2\) ?

Recommence tes calcules !

SoSMath.
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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Sam 9 Juin 2018 15:15

Bonjour,

Excusez moi, mais j'ai l'impression que vous ne me dîtes jamais la même chose.
Avant une partie de ma récurrence était faute, maintenant c'est la récurrence entière ?
De plus, je pense suivre ce qui m'a été dit le dimanche 3 Juin 2018 à 10:03 ?
Thomas
 

Re: suite de fibonacci

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 9 Juin 2018 16:31

Thomas,

le 3 Juin 2018, je répondais à ta demande de factorisation .... et non sur la récurrence !
De plus, je n'ai pas dit que ta crécurrence était entièrement fausse ...
Il faut simplement faire le bon calcul dans l'hérédité ....
Ton hypothèse de récurrence est \(u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2=(-1)^n\).
Il faut alors calculer \(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2\), pour trouver \((-1)^{n+1}\).

Je te rappelle que \(u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}\).

SoSMath.
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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Sam 9 Juin 2018 16:40

Bonjour,

J'ai tout supprimé, pour mieux recommencer.
Voici où je bloque !
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Re: suite de fibonacci

Messagepar SoS-Math(9) le Sam 9 Juin 2018 18:18

Thomas,

voici le début du calcul :

\(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2 = (u_{p+1}+u_{p})u_{p}-u_{p+1}^2\) car \(u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}\).
= \(u_{p+1}u_{p} + u_{p}^2 - u_{p+1}^2 = u_{p+1}(… - …) + u_{p}^2 =...\)

Je te laisse terminer.

Je te rappelle que
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Re: suite de fibonacci

Messagepar Thomas le Sam 9 Juin 2018 23:12

Bonjour,

Je suis toujours bloqué, voici ce que j'ai fait ...
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