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Théorème de Gauss et théorème d'Euclide

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Théorème de Gauss et théorème d'Euclide

Messagepar Thomas le Dim 10 Juin 2018 12:15

Bonjour,

Je fais un exercice sur l'arithmétique, et je n'arrive pas à faire la première question.
Voici ce que j'ai commencé à faire :

Soient a, b et c des entiers relatifs.
a divise le produit bc et que a et b sont premiers entre eux.
Puisque a et b sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Mais je ne pense pas que mon début soit vrai ...
Merci d'avance de votre aide.
Fichiers joints
Capture.GIF
Thomas
 

Re: Théorème de Gauss et théorème d'Euclide

Messagepar sos-math(21) le Mar 12 Juin 2018 06:51

Bonjour,
il y a plus simple en considérant une disjonction de cas :
- soit \(p|a\) et c'est terminé ;
- soit \(p\) ne divise pas \(a\) et dans ce cas, \(p\) étant premier, cela signifie que \(p\) est premier avec \(a\) donc d'après le théorème de Gauss, \(p|b\).
Ce type de raisonnement (disjonction de cas) est très fréquent en arithmétique.
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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