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Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

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Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar yann le Lun 4 Fév 2019 20:20

Bonsoir, pouvez - vous m'aidez pour mon DM , je n'arrive pas à calculer une longueur avec des racines carrés et j'ai essayé depuis longtemps et je ne peux pas passer à une autre question sans avoir fait celle-ci.
Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O, \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})\); On considère les points C (2;4) et C' de coordonnées \((\frac{2\sqrt{5}}{5} ; \frac{4\sqrt{5}}{5})\)

Je dois calculer OC et OC'
Mes réponses sont :
Pour OC ; \(OC² = (x_{C} - x_{O})² + (y_{C} - y_{O})² = (2 - 0 )² + (4 - 0)² = 2² + 4² = 20\)
Soit OC² = 20 donne OC = √20

Pour OC', je n'y arrive pas et j'ai essayé :
\(OC'² = (x_{C} - x_{O})² + (y_{C} - y_{O})²\)

\(OC'^2 = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5} - 0\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{5} - 0\right)^2\)

\(OC'^2 = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2\)

\(OC'^2 = \frac{(2\sqrt{5})^2}{(\sqrt{5})²} + \frac{(4\sqrt{5})²}{(5)²}\)

-
yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 00:41

Bonjour Yann,

Tu es sur la bonne voie mais dans le premier terme de ta dernière ligne, le dénominateur est aussi 25.
Je te donne un exemple de calcul pour t'aider à terminer à calculer tes carrés au numérateur :
\((4\sqrt{3})^2=4^2\sqrt{3}^2=16*3=48\)

Tu peux continuer tes calculs en t'inspirant de l'exemple précédent.
Tu trouveras une somme de deux fractions de dénominateur 25... que tu sauras additionner sans peine.

Tu dois finir par trouver OC'² = 4 après simplication.

N'hésite pas à vérifier chaque étape à la calculatrice.

Bonne recherche
sosmaths
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar yann le Mar 5 Fév 2019 13:41

Bonjour et merci de m'avoir répondu, quand j'ai \(\left( \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2\) cela donne \(\dfrac{\left(2\sqrt{5}\right)^2}{\left(5\right)^2}\)
mais après je ne sais plus continuer. Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?

-
yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 14:03

Bonjour,

Mon aide est dans ma réponse précédente.
A l'aide d'un exemple, je t'ai montré comment continuer : il te suffit de t'en inspirer.
calcule 5² ne posant pas de problème, inspire-toi de la méthode donné dans l'exemple pour calculer ton numérateur.
Si vraiment tu n'y arrives pas, renvoie-moi un message et je tenterai une autre piste, mais tu as quasiment fini.

Bonne recherche
sosmaths
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar Yann le Mar 5 Fév 2019 19:23

Bonsoir SOS math34 j'ai une fraction 100/4 et la racine carrée je trouve 2
Est-ce que je peux mettre l'énoncé de mon DM en entier parce que il y a un exercice qui est un peu dure et j'aimerais bien avoir de l'aide
Yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 19:38

Bonsoir Yann,

Je suis d'accord avec le numérateur qui est bien 100, mais le dénominateur est 25. (tu as sans doute fait une faute de frappe...)
OC'² = 100/25 = 4 donc OC' = 2.

C'est bien
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 19:40

oui, n'hésite pas à envoyer une photo de ton énoncé.
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 19:40

Mais à chaque fois, pose une question précise ou indique où tu en es rendu dans ta recherche.
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar yann le Mar 5 Fév 2019 20:21

Bonsoir Sos math (44) et merci pour l'aide, aussi je vais quand même recopier l'énoncé parce que cela est exigé sur les autres Forum alors je vais la même chose ici.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(O, \vec i, \vec j\). On considère les points A(-2 ; 0) et B(2 , 0) et
C'\(\left(\frac{2\sqrt{5} }{5} ; \frac{4\sqrt{5}}{5}\right)\) . Les points C et D sont tels que ABCD est un carré et \(C\) est un demi-cercle
de diamètre [AB]


1. a. Montrer que le point C' appartient à la droite (OC).

b. Calculer OC'.

c. En déduire que C' est l' intersection de la droite (OC) et de \(C\) .



2. On considère l'homothétie \(h\) de centre O qui transforme \(C\) en \(C'\).

a. Quel est le rapport de l'homothétie \(h\) ?

b. Déterminer les coordonnées de \(D' = h (D)\). Montrer que D' appartient à C.

c. Déterminer les coordonnées de \(A' = h(A)\) et de \(B' = h(B)\)

d. Montrer que A'B'C'D' est un carré.

Capture d’écran 2019-02-05 à 20.18.50.png
yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar yann le Mar 5 Fév 2019 20:30

Pour la 1) où on me demande de montrer que C' appartient à le droite (OC), mon professeur a dit qu'il fallait utiliser la condition de colinéarité de 2 vecteurs.
et la condition de colinéarité est : \(xy' - x'y = 0\)

Alors j'ai trouvé le vecteur \(\overrightarrow{OC}\) et le vecteur \(\overrightarrow{OC'}\)j'ai commencé le calcul mais je n'ai pas pu le terminer parce que je ne suis pas trop bon pour le calcul avec des racines carrée. Pouvez vous m'aidez pour le calcul s'il vous plaît ?

-
yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 21:31

Calcule d'abord les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{OC}\) et \(\overrightarrow{OC'}\).
Normalement, tu as C(2;4) donc puisque O(0;0), \(\overrightarrow{OC}\) a aussi pour coordonnées (2;4).
Cherche les coordonnées de \(\overrightarrow{OC'}\).

Ensuite tu calcules xy' - x'y avec les coordonnées des deux vecteurs, tu dois effectivement trouver 0 et cela prouvera l'alignement des points O, C et C'.
Je fais le début du calcul et tu continueras :
\(xy'-x'y=\frac{2\sqrt{5}}{5}*4-\frac{4\sqrt{5}}{5}*2=\frac{8\sqrt{5}}{5}-...\)…

bonne recherche
sosmaths
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar yann le Mar 5 Fév 2019 22:01

Bonsoir , alors pour les coordonnées de vecteur \(\overrightarrow{OC'}\) j'ai fait \(\left(x_{C} - x_{O}\right);\left(y_{C} - y_{O}\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5} - 0 \right)\left(\frac{4\sqrt{5}}{5} - 0\right)\)
Soit \(\overrightarrow{OC'}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5} ; \frac{4\sqrt{5}}{5}\right)\)

En traçant les 2 vecteurs , je vois tout de suite que les vecteurs sont colinéaires donc je vais trouver 0 pour la calcul mais je bloque encore au niveau du calcul des numérateurs parce que je ne trouve pas 0. j'ai fait \(\frac{2\sqrt{5}}{5} * 4 - \frac{4\sqrt{5}}{5} *2 = \frac{8\sqrt{5}}{5} - \frac{16\sqrt{5}}{5}\)
Et arrivé là, je ne sais pas faire la différence des 2 fractions parce qu'avec les racines carrés, je ne suis plus bien faire les calculs, je l'ai appris mais je ne sais plus le faire
-
yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mar 5 Fév 2019 22:46

attention à mieux lire les exemples de calculs qui sont donnés.
2*4 = 8 donc ton 2ème terme dans ta différence est 8 fois la racine carrée de 5 divisée par 5 et pas 16fois.
Tu confonds 4*2=8 et 4² = 16.
Corrige ton erreur et le calcul sera terminé.

Bonne continuation
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Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar yann le Mar 5 Fév 2019 23:21

\(\frac{2\sqrt{5}}{5} \times 4 = \frac{8\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{4\sqrt{5}}{5} \times 2 = \frac{8\sqrt{5}}{5}\)

Soit \(\frac{8\sqrt{5}}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{5}\) ainsi le vecteur \(\overrightarrow{OC}\) et le vecteur \(\overrightarrow{OC'}\) sont colinéaires, donc O, C' et C sont alignés et je peux conclure que C' appartient à la droite (OC).

Pour la c. En déduire que le point C' est l'intersection de la droite (OC) et du demi - cercle \(\mathbb{C}\).
J'ai mis ça :

Les points A et B sont placés sur l'axe des abscisses (équation : y = 0) ainsi A et B appartiennent à l'axe des abscisses ,
alors pour calculer la distance , c'est \(x_{A} - x_{B} = -2 - 2 = -4\) et comme une distance est toujours positive je prends la valeur absolue pour avoir [AB] = 4

Ainsi ABCD est un carré de côté 4.

Or l'énoncé me dit que le demi-cercle a pour diamètre [AB] donc le rayon est 2, puisque OC' = 2 alors C' est bien sur le cercle et sur la droite (0C) Donc C' est bien le point d'intersection
de la droite (OC) et du demi-cercle\(\mathbb{C}\).
---------------------------------
Je ne sais pas ce que vous en pensez ? ce n'est pas un peu long comme démonstration ?
Mais j'espère que c'est bon quand même

-
yann
 

Re: Calcul de la longueur OC' avec C' (2√5/5; 4√5/5)

Messagepar SoS-Math(34) le Mer 6 Fév 2019 13:15

Bonjour Yann,

Tu as les bonnes idées, c'est bien!
Pour la rédaction du a), termine le calcul de xy'-x'y à l'aide des deux produits que tu as calculés.

Pour le c), précise le centre du cercle de diamètre [AB], tu as déjà son rayon.
Ta réponse convient par ailleurs.

Bonne continuation
sosmaths
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