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Arithmétique

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Arithmétique

Messagepar Agathe le Dim 6 Oct 2019 01:03

Bonsoir,

J'ai des problèmes avec cet exercice de Spé Maths (voir pièce jointe).

dm arithmétique.png


Pour la question 1.a, j'ai trouvé : T2=2X²-1 et T3=2X*(2X²-1)-X=4X^3 - 3X. Est-ce correct ?

Par contre, je ne vois vraiment pas quoi faire pour la question 1.b... Peut-être un raisonnement par récurrence ?

D'avance, merci pour l'aide.
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(21) le Dim 6 Oct 2019 07:05

Bonjour,
tu as calculé tes premiers polynômes et tu constates que \(T_n\) est de degré \(n\) et que le coefficient devant le terme de plus haut degré est :
\(a_0=1\), \(a_1=1=2^0\), \(a_2=2=2^1\), \(a_3=4=2^2\) donc pour \(n\geqslant 1\), on aurait une puissance de 2 : \(a_n=2^{n-1}\).
Si tu veux prouver ce résultat de manière rigoureuse, il faut que tu fasses une récurrence et que tu prouves que pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(T_n=2^{n-1}X^n+P\) où \(P\) est un polynôme de degré \(n-1\). Comme ta relation de récurrence porte sur deux rangs, ta récurrence pourra porter sur deux rangs : le rang \(n\) et le rang \(n+1\) :
Pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(T_n=2^{n-1}X^n+P\) et \(T_{n+1}=2^{n}X^{n+1}+Q\) où \(P\) est un polynôme de degré \(n-1\) et \(Q\) est est un polynôme de degré \(n\)
Bonne rédaction
PS : je me demande si ton professeur souhaite vraiment une preuve, car dans l'énoncé, il a écrit donner le degré de...
sos-math(21)
 
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Re: Arithmétique

Messagepar Agathe le Dim 6 Oct 2019 10:25

Merci beaucoup pour votre réponse.

Donc en fait c'est une récurrence double ? C'est possible que ce soit ça car on en a parlé récemment en cours...

Pour la 1.c, comment faire le lien avec la 1.b ? J'ai compris la question mais je ne vois pas bien la méthode pour y répondre...

Merci beaucoup.
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(21) le Dim 6 Oct 2019 12:49

Bonjour,
en fait, il n'y a pas vraiment de lien, seulement pour exploiter la fait que \(T_n\) est de degré \(n\) : il faut juste écrire la forme générale de chaque polynôme :
\(T_n=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0\)
\(T_{n+1}=b_{n+1}X^{n+1}+b_nX^{n}+\ldots+b_1X+b_0\)
\(T_{n+2}=c_{n+2}X^{n+2}+c_{n+1}X^{n+1}+\ldots+c_1X+c_0\)
Puis la relation de récurrence \(T_{n+2}=2XT_{n+1}-T_n\) va te permettre de faire des identifications degré par degré :
\(c_{n+2}=2b_{n+1}\), \(c_{n+1}=2\times \ldots\) et pour les autres degrés : \(c_n=.....\)
Bonne continuation
sos-math(21)
 
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Re: Arithmétique

Messagepar Agathe le Lun 7 Oct 2019 17:16

Merci beaucoup pour la réponse. Je vais essayer de rédiger tout ça, je vous dirai si j'y arrive.

J'ai réussi la question 2.a. Mais avez-vous une idée pour la question 2.b ? J'imagine qu'il faut utiliser la 2.a, mais je ne vois pas comment...

Merci beaucoup et bonne semaine.
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(27) le Lun 7 Oct 2019 18:23

Bonjour Agathe,
Ton exercice traite des polynômes de Tchebychev : https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev

Effectivement, tu va utiliser la question 2a) pour démontrer la formule de la question 2b), il faut faire une récurrence.
Je te laisse chercher encore un peu.
à bientôt
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Re: Arithmétique

Messagepar Agathe le Mer 9 Oct 2019 20:35

Merci beaucoup pour la réponse.

Hélas j'ai cherché depuis lundi la 2.b, mais sans succès...

Qu'est-ce qu'il faut faire dans l'hérédité ? Je ne suis même pas sûre d'avoir posé la bonne hypothèse de récurrence...

Merci par avance pour votre éclaircissement.
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(21) le Jeu 10 Oct 2019 18:09

Bonjour,
il faut que tu fasses une récurrence sur deux niveaux et prouver pour tout entier naturel \(n\) :
\(T_n(\cos(a))=\cos(na)\,\text{et}\,T_{n+1}(\cos(a))=\cos((n+1)a)\)

Pour l'hérédité, il faut que tu partes de la relation \(T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_N(X)\) soit en remplaçant \(X\) par \(cos(a)\) :
\(T_{n+2}(\cos(a))=2\cos(a)T_{n+1}(\cos(a))-T_n(\cos(a))\) soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence :
\(T_{n+2}(\cos(a))=2\cos(a)\cos((n+1)a))-\cos(na)\)
en utilisant la relation \(cos(a)\cos(b)=\dfrac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))\) avec \(a=a\) et \(b=(n+1)a\), cela donne :
\(T_{n+2}(\cos(a))=2\times \dfrac{1}{2}(\cos(a+(n+1)a)+\cos(a-(n+1)a))-\cos(na)\) les cosinus vont se simplifier (tu auras \(cos(-na)-\cos(na)\) et comme la fonction cos est paire, ces deux termes vont s'annuler). Il te restera \(\cos((n+2)a)\) ce qui prouvera la propriété aux rangs \(n+1\) et \(n+2\).
Bonne continuation
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Re: Arithmétique

Messagepar Agathe le Jeu 10 Oct 2019 19:19

Je vois mieux, merci beaucoup !

Et j'ai essayé de rédiger la 1.b, mais j'ai un problème pour l'initialisation avec T2 (comme c'est une récurrence double j'initialise avec T1 et T2. J'obtiens avec la formule de récurrence T2=2X^2 - 1 mais il y a un problème : -1 est un polynôme de degré 0, donc pas de degré n-1 (soit 1) ! Où est l'erreur ?

Et pour la 1.c j'ai compris l'identification, mais est-ce encore un raisonnement par récurrence qu'il faut faire ?

Et je suis bloquée pour la toute dernière question, j'ai pensé à un tableau de variations mais je ne vois pas comment je pourrais le faire...

MERCI !!!!
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(21) le Jeu 10 Oct 2019 21:08

Bonjour,
les polynômes \(T_n\) sont tous de degré \(n\) et pour \(n\geqslant 1\), leur coefficient dominant est \(2^{n-1}\) : pour ce dernier, il faut donc que tu fasses une preuve par récurrence à partir de \(n=1\)
Pour la 1.c, l'identification te permet d'obtenir des relations entre les coefficients de manière générale, donc il n'y a pas besoin de preuve par récurrence.
Pour la fin l'identité \(T_n(\cos(a))=\cos(na)\) nous donne une correspondance : si \(a\) est une solution de l'équation de l'équation \(\cos(na)=0\), alors \(\cos(a)\) est une racine de \(T_n\).
Ensuite, si on résout \(\cos(na)=0\) cela équivaut à \(na=\dfrac{\pi}{2} (\pi)\) soit \(a=\dfrac{\pi}{2n} \text{modulo} \left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), ce qui donne bien \(n\) valeurs et les \(n\) racines de \(T_n\) seront donc les \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2n}\right) \text{modulo}\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), qui sont bien des valeurs de l'intervalle \([-1\,;\,1]\) car la fonction cosinus est à valeurs dans \([-1\,;\,1]\).
Bonne conclusion
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Re: Arithmétique

Messagepar Agathe le Jeu 10 Oct 2019 21:14

J'ai bien compris qu'il faut faire une récurrence pour la 1.b, mais c'est ceci que je ne comprends pas :

"j'ai un problème pour l'initialisation avec T2 (comme c'est une récurrence double j'initialise avec T1 et T2. J'obtiens avec la formule de récurrence T2=2X^2 - 1 mais il y a un problème : -1 est un polynôme de degré 0, donc pas de degré n-1 (soit 1) ! Où est l'erreur ?"

C'est donc un problème dans l'initialisation...

Et je n'arrive pas à rédiger la 1.c, ça me semble trop brouillon comme rédaction l'écriture avec les points de suspension...

Par contre j'ai compris toute la 2, merci beaucoup !!
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(21) le Jeu 10 Oct 2019 21:20

Bonsoir,
je crois que j'ai répondu à tes questions, je ne vois pas où est ton problème pour l'initialisation. Peux tu préciser ?
Pour le reste, les points de suspension sont très souvent employés en maths pour indiquer des écritures longues, comme par exemple un polynôme ou une somme de terme. Ce n'est pas un manque de rigueur mais une notation comprise par la communauté.
Merci de préciser où sont tes difficultés ou de m'envoyer le début de ta rédaction.
Bonne continuation
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Re: Arithmétique

Messagepar Agathe le Ven 11 Oct 2019 02:34

Vous avez écrit dans un de vos premiers messages que : Tn=2^(n−1)*X^n+P où P est un polynôme de degré n-1.

Mais pour T2, on a : T2=2X²-1 d'où P=-1, mais P est un polynôme de degré 0, alors qu'il devrait être de degré 2-1, soit 1 (d'après la ligne ci-dessus) !

Voilà le problème... Où est l'erreur ?

Merci beaucoup.
Agathe
 

Re: Arithmétique

Messagepar sos-math(21) le Ven 11 Oct 2019 08:18

Bonjour,
quand j'ai écrit P de degré \(n-1\), je voulais dire de degré inférieur ou égal à \(n-1\), puisqu'il peut en effet arriver qu'il n'y ait pas de terme de degré \(n-1\) mais directement \(n-2\), ou moins.
j'ai écrit cela pour dire que le degré de \(T_n\) est \(n\) donc le reste du polynôme si on enlève le terme de degré \(n\) est de degré au plus \(n-1\).
Désolé pour cette approximation qui t'a fait patiner.
Bonne continuation
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