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Flocon de Koch

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Flocon de Koch

Messagepar Emma le Lun 24 Sep 2012 20:45

Bonjour j'ai un exercice sur le flocon de Koch.
Dans l'enonce, j'ai la methode de cobstruction: Tracer un triangle equilateral et diciviser chaque cote en 3 parties egales! cahque cote comporte un segment central, qui sert de point de depart pour tracer a nouveu un triangle equilateral dirige vers l'exterieur. enfin, effacer les segments utilises.
Diviser a nouveau en 3 chacun des cotes de la figure obtenue : on obtient un flocon

Je bloque sur la question : Pour un flocon donne a l'etape n , combien de triangles ont ete ajoutes a l'etape n+1?
Emma
 
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Re: Flocon de Koch

Messagepar sos-math(13) le Lun 24 Sep 2012 20:53

Bonjour,

pose toi la question en donnant des valeurs successives à n :
n=0 : combien de triangles rajoutés en passant de l'étape initiale (n=0) à l'étape n=1 (si tu as numéroté comme ceci à partir de 0) ?
n=1 : combien de triangles rajoutés en passant de l'étape n=1 à l'étape n=2 ?
etc...

Tu vas trouver le mécanisme, et la nature de la suite qui est utilisée.

Bon courage.

Pour illustrer la construction jusqu'à l'étape 7, tu peux télécharger : http://www.lyc-arsonval-brive.ac-limoges.fr/dumortier/IMG/zip/vonkoch.zip

Bon courage.
sos-math(13)
 
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Re: Flocon de Koch

Messagepar Jean-Baptiste le Mar 25 Sep 2012 18:24

Bonjour
j'ai un problème à la question suivante.
Je cite: "Calcul de l'air An du flocon à l'etape n
En remarquant que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a = (a carré x racine de 3)/ 4, exprimer An+1- An en fonction de n
Merci d'avance.
Jean-Baptiste
 
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Re: Flocon de Koch

Messagepar SoS-Math(7) le Mar 25 Sep 2012 19:45

Bonsoir Jean-Baptiste,

Pour répondre à cette question, il faut réutiliser la question précédente : le nombre de triangles ajoutés à l’étape n+1.
\(A_{n+1}-A_n\) correspond à l'aire des triangles ajoutés à l'étape (n+1). Tu sais qu'ils sont tous équilatéraux et superposables...
Il y en a ....
La longueur de leur côté est ...
Donc l'aire de chacun est ....
Ainsi \(A_{n+1}-A_n= ...\)

Bonne recherche.
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Re: Flocon de Koch

Messagepar Emma le Jeu 27 Sep 2012 18:25

Bonsoir,
J'ai réfléchi depuis le premier message, j'ai donc trouve que le nombre de triangles ajoutés à l'étape n est Sn. Je trouve donc An+1-An=Sn x (Ln^2 x racine de 3)/4. Est que c'est juste?
Je bloque maintenant sur la troisième question :
En calculant la somme des Ak+1-Ak pour k compris entre 1 et n-1, c'est à dire sigma k=1 n-1 de Ak+1-Ak, exprimer An en fonction de n pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

Pouvez vous m'aider , est ce que cela signifie que l'on fait la somme des Ak+1-Ak est égale à : A2-A1+A3-A2+...+An-An+1 ?

que faire ensuite?


Merci
Emma
 
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Re: Flocon de Koch

Messagepar Emma le Jeu 27 Sep 2012 19:49

Bonsoir , j'ai déjà laisse un message mais je viens de m'apercevoir que j'ai fait une erreur, en effet pour calculer An+1-An il faut faire le nombre de triangles ajoutés x l'aire d'un triangle de côté Ln+1.
Pouvez vous me dire si cela est juste? Pouvez vous m'aider pour la somme des Ak+1-Ak?

Merci
Emma
 
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Re: Flocon de Koch

Messagepar SoS-Math(25) le Ven 28 Sep 2012 11:54

Bonjour Emma,

Ta formule pour calculer \($A_{n+1} - A_n$\) est correcte :

\($A_{n+1} - A_n = S_n \times L_{n+1}^2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}$\).

Pour la somme des \($A_{n+1} - A_n$\) il faut maintenant exprimer \($L_{n+1}$\) et \($S_n$\) en fonction de n.

Attention tu as une erreur dans un de tes messages :

"la somme des Ak+1-Ak est égale à : A2-A1+A3-A2+...+An+1-An " ...

Bon courage !
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