Exercice - Relativité (voyage navette)

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Exercice - Relativité (voyage navette)

Messagepar Valentin J. TS le Sam 22 Avr 2017 09:28

Bonjour,

J'ai cet exercice à traiter mais je ne sai spas comment faire la partie 2 et la question 1 de la partie 3 :

On envisage dans cet exercice la faisabilité d'un voyage intersidéral dans un avenir proche.
On étudie le cas d'un voyage vers l'étoile la plus proche du système solaire, [smb]alpha[/smb] du Centaure, qui se situe à 4,5 années lumières (a.l.) de celui-ci. Pour que les résultats d'une exploration puissent être exploités sur Terre dans un délai acceptable, on imagine qu'un vaisseau puisse parcourir cette distance avec la vitesse \(v=\frac{c}{2}\).
On n'envisage ici que la phase du trajet aller pendant laquelle la vitesse du vaisseau est constante par rapport au système solaire constituant un référentiel galiléen.
Données :
* 1 a.l. = \(9,5 \times 10^{15}\) m
* Expression de l'énergie cinétique d'un solide de masse m animé de la vitesse v en relativité restreinte : \(\xi _{c} = (\gamma -1)mc²\)

Questions:


1. Durée du trajet
a) Calculer la durée du trajet Terre - étoile supposée entièrement effectuée à vitesse constante, mesurée dans le référentiel du système solaire.
b) Calculer la durée du même trajet mesurée dans le référentiel du vaisseau.


2. Communication entre le vaisseau et la Terre
Depuis la Terre, on envoie un signal électromagnétique de fréquence f destiné à être réceptionné par le vaisseau lorsqu'il est en approche de l'étoile (toujours avec la vitesse v). Le vaisseau renvoie dès réception un autre signal, de même fréquence, vers la Terre.
a) Quelles sont les célérités dans le vide de chacun des deux signaux dans le référentiel du système solaire et dans le référentiel du vaisseau ?
b) Quelle est la durée écoulée, mesurée par un observateur terrestre, entre l'émission du signal depuis la Terre et la réception du signal provenant du vaisseau ?
c) Pour réceptionner les signaux, les récepteurs placés sur Terre et dans le vaisseau doivent-il êtres accordés sur une fréquence supérieure à f ?

3. Énergie dépensée par le vaisseau
a) D'après l'expression de l'énergie cinétique relativiste donnée plus haut, que devient l'énergie cinétique d'un objet lorsque sa vitesse tend vers la vitesse de la lumière dans le vide ? On peut en déduire une particularité de la vitesse c, laquelle ?
b) Calculer, dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte, l'énergie cinétique que l'on doit communiquer à un vaisseau de masse m = \(1,0 \times 10^{4}\) kg pour qu'il atteigne la vitesse \(v=\frac{c}{2}.\)
c) Commenter la faisabilité du voyage envisagé dans un avenir proche.


REPONSES :

1) a) Le référentiel système solaire est le référentiel impropre donc,

\(T' = \dfrac{d}{v} = \dfrac{4,5 \times 9,5\times 10^{15}}{0,5c} = 2,85 \times 10^8 s\)

b) On sait que \(\Delta T’ = \gamma \times \Delta T_0\)
Donc,
\(\Delta T_0 = \Delta T' \times \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\)


J'aurais besoin de votre aide pour les questions de la partie 2.
Merci et bon week-end à tous
Valentin J. TS
 

Re: Exercice - Relativité (voyage navette)

Messagepar SoS(11) le Jeu 27 Avr 2017 11:28

Bonjour Valentin,

Pour vos réponses elle sont justes.
Pour la partie 2:
1) Il faut s'appuyer sur l'un des postulats d'Einstein que vous avez vu en cours.
2) Il n'y a pas de difficulté particulière, il suffit de connaître la célérité d'un signal électromagnétique.
3) Je ne comprends pas la question et je ne suis pas certain de la réponse.

Partie 3
1) Il suffit de constater que si la vitesse tend vers c alors γ tend ?

A vous de jouer et à bientôt
SoS(11)
 
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