Puissance surfacique solaire

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Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Mar 25 Avr 2017 21:04

Bonjour,
J'ai un exercice à faire de physique et j'ai réussi à faire les premières questions mais j'ai du mal à démarrer avec les suivantes...
Voilà le sujet :
On cherche à chauffer l'eau d'une piscine avec le soleil. La piscine est posée sur le sol, de longueur L=8,0m, de largeur l=3,0m et elle est remplie d'eau à la hauteur h=1,80m. La température initiale de la piscine est \(T_{0}\)= 15,0°C
On nous donne la loi de Stefan, qui donne la puissance surfacique p rayonnée par un corps noir de température T :
p= σ x T^4 avec T en kelvins et σ = 5,67 x 10^-8 W.m-².K-4 la constante de Stefan.
On donne la distance terre-soleil \(d_{T/S}\)= 149,6 millions de km, le rayon de la Terre \(R_{T}\)= 6380 km, le rayon solaire \(R_{S}\)= 6,96.10^5km et on nous rappelle la formule de l'aire d'une sphère 4 pi r² et le volume d'une boule 4 pi r^3 / 3
Voila la question :
En considérant que le Soleil est un corps noir de température T=5700 K, trouver la puissance surfacique solaire p1 reçue par la Terre.
Donc j'ai calculé p et j'ai trouvé 5,98.10^7 W.m-2 mais le problème c'est que je n'arrive pas à voir la relation qu'il y a avec toutes les données...
Pourriez vous me donner une piste ?
Merci d'avance !
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Mer 26 Avr 2017 10:40

Bonjour Emma,

La puissance p que vous avez calculée est la puissance surfacique émise par le Soleil, au niveau de sa surface.

La sphère qui va porter cette puissance va en s'agrandissant au fur et à mesure que l'on s'éloigne du Soleil, et la Terre n'en reçoit évidemment qu'une toute petite partie.
La puissance p1 qu'on vous demande de calculer est cette toute petite partie ...

Il faut donc prendre en compte les différentes données, et considérer tout d'abord que la puissance portée par la sphère correspondant à la surface du Soleil a la même valeur que la puissance portée par la sphère centrée sur le Soleil et passant par la Terre.

Je vous laisse essayer, et vous pouvez revenir vers nous.
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Mer 26 Avr 2017 11:39

Bonjour,
Merci de m'avoir répondu !
Donc j'ai repris mes calculs :
Donc j'ai trouvé que la puissance surfacique du soleil vaut : \(p_{S}\)= σ x \(T^{4}\) = 5,98.10^7 W.m-2
J'ai calculé la surface totale du soleil :
\(S_{S}\)= 4\(\pi\) x \(R_{S}\)²= 6,09.10^18 m²
Et j'en ai déduit la puissance totale du soleil :
P= \(p_{S}\) x \(S_{S}\)= 3,64.10^26 W

J'ai ensuite calculé la surface de la sphère qui a pour rayon la distance Terre-Soleil :
\(S_{T/S}\)= 4\(\pi\) x \(d_{S/T}\)² = 2,81.10^23 m²
Puisque vous m'avez dit que la puissance du soleil était la même que la puissance portée par la sphère de rayon Terre-Soleil alors j'en ai déduit la puissance surfacique de la sphère de rayon terre-soleil :
\(p_{S/T}\) = P / \(S_{T/S}\) = 1295,5 W.m-2

Je sais que la terre se trouve sur la sphère qui a pour rayon la distance Terre-Soleil et j'ai calculé la surface éclairée de la terre par le soleil (je suis partie du principe que c'était la moitié de la surface de la Terre) :
\(S_{T}\) = 2\(\pi\) x \(R_{T}\)²= 2,56.10^14 m²
Donc j'ai calculé la puissance que recevait cette surface de la Terre :
p1 = \(p_{S/T}\) x \(S_{T}\) = 3,31.10^17 W

Est-ce que c'est correct ou totalement hors-sujet ?
Merci d'avance !
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Mer 26 Avr 2017 15:03

Ça me parait très bien.

Attention tout de même, car p1 demandé est la puissance surfacique reçue à la surface de la Terre, donc finalement vous êtes allé un peu trop loin dans le raisonnement ...

En restant à votre disposition.
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Mer 26 Avr 2017 15:06

Ah oui effectivement... donc j'aurais normalement du m'arrêter à p1= 1295 W.m-2. Merci de votre aide !
Cependant j'ai une autre question qui demande une conversion que j'ai faite mais je ne sais pas si c'est juste...
Voila le sujet :
C'est toujours une femme qui veut faire chauffer sa piscine. Elle lit dans une revue que "l'énergie solaire disponible" chez elle est voisine de 1300 kWh.m^-2 par an, évidemment répartie plus en été qu'en hiver (elle lit qu'environ 13% de cette énergie est disponible pour chaque mois d'été).
et la question est :
déterminer la puissance surfacique solaire p2 disponible en août donnée par la revue.
Alors j'ai commencé par convertir mon unité en Wh.m-2 puis j'ai fait le calcul pour 13% et je trouve :
0,13 x 1000 x 1300 = 169.10^3 Wh.m^-2
Puis j'ai divisé par le nombre d'heures qu'il y a au mois d'août (31 x 24h)
et j'obtiens une puissance surfacique qui vaut : 227,15 W.m^-2
Qu'en pensez vous ?
Merci d'avance de votre réponse !
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Mer 26 Avr 2017 16:25

Je me permets de continuer avec les questions car je me suis lancée dans un raisonnement et j’aurais aimé avoir votre opinion sur ce que j’ai fait.
Voilà l’énoncé :
on considère pour simplifier que en journée, en moyenne, sa piscine peut recevoir sur sa face supérieure une puissance surfacique de la part du soleil p3= 150 W.m^-2, et ce pendant 12 heures d’éclairement par jour en moyenne. La masse volumique de l’eau est ρ=1,00.10^3 kg.m^-3 ; sa capacité thermique massique, supposée constante, est c=4,18 kJ.kg-1.K-1. Le zéro absolu est à -273,15°C
Voilà la question :
En supposant que l’eau ne reçoit que de l’énergie de la part du soleil et n’en échange pas par ailleurs, déterminer, en jours, combien de temps cela prendra pour obtenir l’eau de la piscine à \(T_{1}\)= 22,0°C
Alors voilà ce que j’ai fait :
Le volume d’eau dans la piscine est :
V= 8 x 3 x 1,8 = 43,2 m^3
La masse d’eau dans la piscine est donc :
m= ρ x V = 43 200 kg
La variation de l’énergie interne de la piscine est :
ΔU = m c Δt = m x c x (\(T_{1}\) - \(T_{0}\)) = 1,264.10^9 J
La surface de la face supérieure de la piscine est :
S = 8 x 3 = 24 m²
La puissance reçue par la piscine est :
P = p3 x S = 3600 W
L’énergie reçue par la piscine en t =12h = 43200s est :
E = P x t = 1,555.10^8 J
Donc je peux en déduire le nombre de jours :
ΔU/ E = 8,13 jours
Qu’en pensez-vous ?
Merci d’avance !
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Mer 26 Avr 2017 16:32

Oui c'est très bien.
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Mer 26 Avr 2017 16:36

Pour la deuxième question aussi cela parait très bien.
Je n'ai pas vérifié les calculs, car je n'ai pas la température initiale de la piscine, mais le raisonnement est tout à fait cohérent (et le résultat obtenu crédible).

En restant à votre disposition.
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Mer 26 Avr 2017 17:23

Merci de votre réponse !
La température initiale de la piscine est \(T_{0}\)=15°C. Sinon j'ai une question: puisque l'on a besoin d'une variation de température alors je peux garder les températures en degrés non ? Je n'ai pas besoin de les convertir en kelvins ?

Voilà la partie suivante : En réalité, les échanges non pris en compte sont nombreux. On n'a pas tenu compte des échanges avec l'air pas convection et par rayonnement, par exemple, ni de la conduction à travers les parois de la piscine. On va chercher à évaluer ces échanges thermiques et le refroidissement de la piscine la nuit.
Pour cela, on va considérer l'air nocturne comme un corps noir à \(T_{nuit}\)=15,0°C, la piscine étant supposée à \(T_{1}\)=22,0°C au début de la nuit. L'eau et l'air considérés comme corps noirs échangent par rayonnement dans la nuit.
Les échanges par convection avec l’air seront modélisés par la loi de Newton reliant la puissance surfacique perdue par convection \(p_{c}\) à la différence de température air-eau : \(p_{conv}\) = k (\(T_{1}\)- \(T_{nuit}\)), où le coefficient k = 10 W.m-2.K-1 est une évaluation approximative.
La conduction par les parois latérales sera modélisée par une résistance thermique \(R_{th}\) = \(\frac{e}{ λ S }\), où e est l’épaisseur de la paroi (ici e = 5,0 cm), S est la superficie de la paroi latérale et λ la conductivité thermique de la paroi (pour le matériau de la paroi λ = 0,050 W.m-1.K-1)
Voilà les questions :
1) évaluer chacune des puissances échangées en considérant que l’eau reste à la température \(T_{1}\)
2) Déterminer l’énergie perdue par l’eau en douze heures de nuit et en déduire à quelle diminution de température cela correspondrait. Commenter.

Alors voilà ce que j'ai fait pour la question 1 :
- pour les transferts par rayonnement j'ai utilisé la loi de Stefan donnée précédemment.
J'ai converti \(T_{1}\) = 22°C = 295,15 K
donc p1 = σ x \(T_{1}\)^4 = 430,29 W.m-2
La surface de la face supérieure de la piscine est 24 m²
Donc la puissance échangée par le rayonnement est :
\(P_{1}\) = p1 x 24 = 10 326 W = 10,326 kW

-pour les transferts par convection :
j'ai appliqué la loi de Newton :
\(p_{conv}\) = k (\(T_{1}\)- \(T_{nuit}\)) = 70 W.m-2
donc la puissance échangée par convection est :
\(P_{2}\) = \(p_{conv}\) x 24 = 1680 W

- pour les transferts par conduction : (toujours avec S = 24 m²)
\(R_{th}\) = \(\frac{e}{ λ S }\) = 4,16.10^-3 W.K-1
donc la puissance échangée par conduction est :
\(P_{3}\) = \(T_{1}\)- \(T_{nuit}\) / \(R_{th}\) = 1680 W

Qu'en pensez vous ? Est-ce normal que je trouve les mêmes valeurs pour les transferts par convection et conduction ?
Pour la question 2, j'ai un peu plus de mal à démarrer... Dois-je additionner toutes les puissances échangées ?
Pourriez vous me donner des pistes ?
Merci d'avance !
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Mer 26 Avr 2017 21:43

Pour répondre à votre première question, dans le cas d'une différence de température, cela ne change effectivement rien que les températures soient de °C ou en K. Ce n'est évidemment plus le cas lorsqu'il s'agit d'une température seule comme dans la loi de Stefan.

Pour la suite, je ne vérifie pas vos applications numériques, mais le raisonnement est tout à fait correct. Vous trouvez effectivement la même valeur pour les 2 derniers calculs, mais c'est je pense une pure coïncidence (ça arrive...)

En restant à votre disposition.
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Jeu 27 Avr 2017 16:08

Bonjour,
Je pense avoir faux dans ma réponse à la question précédente...
Déjà, pour les échanges par rayonnement, il est écrit que l'eau et l'air sont considérés comme corps noirs échangent par rayonnement dans la nuit. Or moi je n'ai fait le calcul que pour l'eau... Dois-je aussi le faire avec l'air? dans ce cas là pour le rayonnement, j'ai \(P_{eau}\) et \(P_{air}\).
Ensuite, pour les transferts par conduction, pour la surface S, je n'ai pris en compte que une paroi latérales or j'aurais du toutes les prendre en
compte non ?
C'est à dire deux rectangles de 28,8m² et deux rectangles de 10,8m² soit une surface de 39,6 m²
Qu'en pensez vous ? Dans ce cas là je ne trouve pas les mêmes valeurs pour \(P_{conv}\) et \(P_{cond}\), cela me paraît plus plausible...

Voilà la question 2) : déterminer l’énergie perdue par l’eau en douze heures de nuit et en déduire à quelle diminution de température cela correspondrait. Commenter.
Voilà mon raisonnement :
pour trouver l'énergie totale perdue j'ai additionné les puissances échangées :
\(P_{total}\) = \(P_{eau}\)-\(P_{air}\)+\(P_{conv}\)+\(P_{cond}\)
Donc pour t=12h, l'énergie perdue est :
\(E_{total}\) = \(P_{total}\) x 12h

Pour trouver la diminution que cela représente j'ai utilisé la formule E = Δt x c x m
J'ai la masse de l'eau dans la piscine ainsi que la capacité thermique massique et l'énergie donc j'en déduis la variation de température.
Qu'en pensez vous ?
Merci d'avance de votre réponse.
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Jeu 27 Avr 2017 17:20

Oui effectivement, j'aurais dû voir l'erreur avec l'air ... j'ai trop vite lu l'énoncé, désolé.
Pour ce qui est de la surface avec les parois de la piscine, je suis également d'accord avec vous, mais comme je vous l'avais dit, je n'ai pas vérifié les calculs numériques (je laisse toujours ça à la charge de l'élève).

Le raisonnement qui suit me parait une nouvelle fois tout à fait cohérent (j'imagine que lorsque vous écrivez Δt, vous pensez ΔT...).

Remarquez au passage que tous les calculs précédents supposent une température constante, et vous finissez par un calcul de variation de la température ! C'est normal, c'est le principe de l'exercice, mais c'est tout de même une source d'erreur. Pour info, la prise en compte de la variation de température dans les calculs de puissance suppose des intégrations (voir maths) qui compliquent très sérieusement la tâche !

En restant à votre disposition, même s'il faut reconnaitre que vous faites tout le travail !
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Jeu 27 Avr 2017 18:38

Merci de votre réponse !
Pour la suite de l'exercice, on recouvre la piscine d'une bâche opaque pour espérer éliminer les transferts par convection et rayonnement. On utilise une bâche d'une épaisseur e=1,0 cm et qui est faite d'un matériau isolant de conductivité thermique λ = 0,10 W.m-1.K-1
On nous demande de calculer la résistance totale des parois et de la bâche notée \(R_{tot}\) puis de déterminer la diminution de température au cours des 12 heures de la nuit dans ces conditions.
Cette partie ne me pose pas trop de problème puisque cela revient au même que celle d'avant...

Mais justement, lorsque vous m'avez parlé de la variation de température... et bien la partie suivante de mon exercice traite de cela...
Mon professeur nous donne en introduction une très brève initiation aux équations différentielles... Puis il nous pose un certain nombre de questions...
Si j'ai à peu près réussi à me débrouiller pour le reste, là j'avoue que je rame. En fait c'est que je ne sais pas comment m'y prendre...
Je mets le sujet en PJ
Sujet.pdf
(204.04 Kio) Téléchargé 49 fois

Pour la question 1, je dois bien dériver l'énergie interne en fonction du temps non ?
Mais comment intégrer le temps ? Et pour calculer U, je ne peux pas calculer sa variation ΔU n'est ce pas ? Mais alors comment la trouver ?
Pourriez vous me donner des pistes svp ?
Merci du temps que vous m'accordez !
Emma
 

Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar SoS(12) le Sam 29 Avr 2017 20:02

Je suis de retour Emma, désolé pour ce délai ...

Oui, vous devez dériver U en fonction du temps, en sachant que ΔU = m.c.ΔT, ou dU = m.c.dT, ce qui doit bien vous aider pour calculer dU/dt ...
En règle générale, vous pouvez remplacer les Δ par des d dans vos équations.
Il vous reste à définir le flux et à justifier le signe -.

Donc pour la suite, vous pouvez exprimer dU :
* d'une part à partir de T1, Tnuit, Rtot et dt ;
* d'autre part à partir de L, l, h et c d'après la relation précédente.
En combinant ces deux relations, vous arriverez à ce qui est demandé à la question l.

Vous avez alors une équation différentielle f'=a.f+b où f est la température T en fonction du temps. Par analogie, vous trouvez directement a et b, puis vous utilisez la solution donnée T(t) = A.e(a.t)-b/a, et avec les conditions initiales (T=T1 à t=0), vous trouvez aussi la valeur de A et vous avez complètement la solution à la question m.

Pas simple ... En restant à votre disposition.
SoS(12)
 
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Re: Puissance surfacique solaire

Messagepar Emma le Sam 29 Avr 2017 23:26

Bonsoir, ravie de voir que vous ne m'avez pas oubliée !
Alors j'ai beaucoup creusé les questions pendant ces 2 derniers jours et je suis arrivée à quelque chose...
Je vous propose ce que j'ai fait en PJ pour les question k à n:
Questions k et l.pdf
(229.17 Kio) Téléchargé 31 fois

Questions m et n.pdf
(195.28 Kio) Téléchargé 29 fois

Donc voilà... Après pour savoir si j'ai été illuminée ou pas... c'est à vous de me le dire !

Donc je profite de votre présence pour solliciter une dernière fois votre aide. Il s'agit de la dernière partie de l’exercice !
Je mets le sujet en PJ
Sujet.pdf
(72.07 Kio) Téléchargé 39 fois

Bon alors comment dire... Je ne sais pas trop comment justifier...
Je sais que l'énergie potentielle de pesanteur vaut Epp = mgh
or ici m = L x l x h x rho donc Epp = L x l x rho x g x h
Or la hauteur de la piscine part de 0 et atteint au maximum h=1,8m donc c'est pour cela que c'est la variable x... Mais après je ne sais pas trop comment justifier la présence d'une intégrale... Je sais juste que l'intégrale permet de trouver une aire mais bon...
Merci d'avance !
Emma
 

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